Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

Важнейший класс линейных преобразований образуют преобразования, осуществляемые следующим образом.

Пусть какие-либо линейно-независимые векторы пространства. Пусть при преобразовании они умножаются на некоторые числа Если векторы принять за базис пространства, то рассматриваемое преобразование описывается диагональной матрицей

Преобразования этого класса имеют простой и наглядный геометрический смысл (конечно, для действительных пространств и при или Именно, если все числа положительны, то описываемое преобразование заключается в растяжении (или сжатии) пространства по направлению векторов с коэффициентами Если некоторые из отрицательны, то деформация пространства сопровождается изменением направлений некоторых из векторов на противоположные. Наконец, если, например, то происходит проектирование пространства параллельно на подпространство, натянутое на с последующей деформацией по этим направлениям.

Рассматриваемый класс преобразований важен тем, что он, несмотря на свою простоту, является весьма общим. Именно, устанавливается, что каждое линейное преобразование, удовлетворяющее некоторым, неочень жестким ограничениям, принадлежит к рассматриваемому классу, т. е. для него можно найти такой базис, в котором оно описывается диагональной матрицей.

Ограничения, накладываемые на преобразование, становятся особенно свободными, если рассматривать линейные преобразования комплексного пространства. В дальнейшем это и будет предполагаться.

Введем следующее определение.

Ненулевой вектор X, переходящий при линейном преобразовании А пространства в коллинеарный вектор IX, называется собственным вектором преобразования. Иными словами, ненулевой вектор X есть собственный вектор преобразования А в том и только в том случае, если Число же X называется собственным значением преобразования А.

Очевидно, что если преобразование имеет в каком-либо базисе диагональную матрицу, то этот базис состоит из собственных векторов, а сами диагональные элементы являются собственными значениями. Обратно, если в пространстве существует базис, состоящий на собственных векторов преобразования А, то в этом базисе матрица преобразования А будет диагональной и составленной из собственных значений, соответствующих векторам базиса.

Перейдем к изучению свойств собственных векторов и собственных значений. С этой целью перейдем к координатной записи в определении собственного вектора. Пусть. А есть матрица, соответствующая преобразованию А относительно некоторого базиса, X — столбец из координат вектора X в том же базисе. Равенство при переходе к координатам запишется как или

В развернутой форме это равенство превращается в систему

Эту систему равенств можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно Нас интересует случай, когда эта система имеет нетривиальное решение, ибо координаты собственного вектора не должны равняться нулю одновременно. Мы знаем, что необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения системы линейных однородных уравнений является требование, чтобы ранг матрицы из коэффициентов был меньше числа неизвестных, а это равносильно тому, что определитель системы равен нулю

Таким образом, все собственные числа преобразования А являются корнями многочлена и, обратно, каждый корень этого многочлена является собственным значением преобразования, так как каждому корню соответствует по крайней мере один собственный вектор. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение же называется характеристическим или вековым уравнением матрицы А, а его корни — характеристическими числами матрицы.

По основной теореме высшей алгебры (глава IV, том 1) каждый многочлен имеет по крайней мере один корень, следовательно, каждое линейное преобразование имеет по крайней мере одно собственное число и, следовательно, по крайней мере один собственный вектор. Но, конечно, при этом возможно, что, даже в случае, если преобразование описывается действительной матрицей, может оказаться, что все или

часть его собственных чисел комплексны. И на самом деле, в действительном пространстве теорема о существовании (действительных) собственных чисел и собственных векторов для любого линейного преобразования оказывается неверной. Например, преобразование плоскости, заключающееся в повороте вокруг начала координат на некоторый угол, отличный от 180°, изменяет направления всех векторов плоскости, так что собственных векторов для этого преобразования не существует.

Корни характеристического многочлена матрицы А являются собственными числами преобразования А, и, следовательно, матрицы, отвечающие одному и тому же преобразованию в различных базисах, обладают одинаковыми совокупностями корней характеристического многочлена. Это делает правдоподобным предположение, что и сам характеристический многочлен линейного преобразования зависит только от преобразования, но не от выбора базиса. Это проверяется следующей изящной выкладкой, основанной на свойствах действий над матрицами и определителями.

Мы знаем, что если матрица А соответствует преобразованию А в некотором базисе, то в каком-либо другом базисе преобразование А имеет подобную матрицу , где С — некоторая неособенная матрица. Но

Таким образом, матрицы, соответствующие одному и тому же преобразованию А в различных базисах, действительно имеют один и тот же характеристический многочлен, который может быть поэтому назван характеристическим многочленом преобразования.

Сделаем теперь предположение, что все собственные числа преобразования А различны. Докажем, что собственные векторы, взятые по одному для каждого собственного числа, линейно-независимы. Действительно, если допустить, что некоторые из них, именно линейно-независимы, а остальные, в том числе и являются их линейными комбинациями, то

Применив к обеим частям равенства линейное преобразование, получим

откуда, в силу определения собственного вектора, следует, что

Умножив равенство (13) на и вычтя из него вновь полученное равенство, будем иметь

Отсюда следует, в силу линейной независимости что

Но мы предположили, что все собственные числа различны и векторы взяты по одному для каждого собственного числа. Следовательно, и равенство (13) неосуществимо, так как коэффициенты не могут одновременно равняться нулю.

Теперь ясно, что если все собственные числа линейного преобразования различны, то существует базис, в котором матрица преобразования имеет диагональный вид. Действительно, за такой базис можно взять систему собственных векторов, взятых по одному для каждого собственного числа. Как мы доказали, они линейно-независимы, и их число равно числу измерений пространства, т. е. они действительно образуют базис.

Доказанная теорема в терминах теории матриц формулируется так. Если все собственные числа матрицы различны, то матрица подобна диагональной, диагональными элементами которой являются эти собственные числа.

Вопрос о преобразовании матрицы линейного преобразования к простейшему виду, в случае если среди корней характеристического многочлена имеются равные, значительно сложнее. Ограничимся кратким описанием окончательного результата.

«Каноническим ящиком» порядка называется матрица вида

Все необозначенные элементы равны нулю.

Канонической матрицей Жордана называется матрица, вдоль главной диагонали которой расположены «канонические ящики», а все остальные элементы равны нулю:

Числа в различных «ящиках» не обязаны быть попарно различными. Любая матрица может быть приведена к подобной ей канонической матрице Жордана. Доказательство этой теоремы довольно сложно. Необходимо заметить, что эта теорема играет большую роль во многих приложениях алгебры к другим вопросам математики, в частности в теории систем линейных дифференциальных уравнений.

Матрица приводится к диагональной форме в том и только в том случае, если порядки всех ящиков равны единице.