2. Выбор потенциальной функции в евклидовом пространстве.

До сих пор нас не интересовала метрика пространства X (в частности, она могла быть и не задана). В тех случаях, когда в X введено каким-либо образом

расстояние между любыми двумя точками удобно задавать К как функцию расстояния

Выше были высказаны некоторые соображения о том, как разумно выбирать функцию Эти соображения, разумеется, относятся и к выбору функции Однако если даже эти общие соображения учтены и с учетом их выбрана некоторая конкретная функция то остается открытым вопрос о том, можно ли представить функцию в виде ряда

по какой-либо полной системе с положительными коэффициентами Если бы не требовалось, чтобы все коэффициенты этого разложения были положительны, то, как известно, при весьма общих предположениях о функции симметричной по х и у, в силу теоремы Гильберта — Шмидта всегда существовало бы разложение причем система и коэффициенты определялись бы однозначно по Именно, и являлись бы собственными значениями и соответственно собственными функциями следующего интегрального уравнения:

Для произвольной симметричной функции собственные значения всегда действительны, но могут оказаться отрицательными. Требование же существования разложения вида (20) с положительными коэффициентами накладывает дополнительные ограничения на выбор функции

В связи с этим важное значение имеет установление критерия, позволяющего по виду функции судить о том, существует ли разложение вида (20).

Если ограничиться случаем, когда точка х задается -кой чисел а расстояние между двумя точками определяется функцией вида

то критерий существования разложения (20) устанавливается следующей теоремой.

Теорема Пусть X: а) ограниченная область в -мерном евклидовом пространстве либо б) дискретное конечное множество точек в . Пусть, далее, непрерывная функция, для которой многомерное преобразование Фурье

положительно в любой точке

Тогда потенциальная функция раскладывается в ряд вида (20), где полная система функций в

Прежде, чем доказать теорему, сделаем два замечания.

Замечание 1. Теорема лишь указывает условия, гарантирующие требуемую разложимость потенциальной функции но ничего не говорит о том, какова конкретно полная система функций порождаемая данной потенциальной функцией.

Замечание 2. Рассмотренные в предыдущем параграфе пространства (от-мерный куб) и пространство вершин -мерного куба (как при евклидовой метрике, так и при метрике Хэмминга) охватываются теоремой.

Доказательство теоремы Рассмотрим порознь случаи а) и б) из текста теоремы.

Случай а). Поскольку симметричная функция переменных х и у, то в силу теоремы Гильберта-Шмидта найдется полная ортонормированная

система функций последовательность действительных чисел таких, что ряд

сходится в среднем к Если все то согласно теореме Мерсера, учитывая, что по условию функция непрерывна, этот ряд сходится поточечно Необходимым и достаточным условием положительности коэффициентов является положительность интегральной формы

для всех таких, что

Рассмотрим теперь класс функций которые совпадают с на X и равны нулю вне Обозначив через и многомерные преобразования Фурье функций соответственно, имеем

Если выполнено условие теоремы, т. е. положительность при всех , то

Тогда (23) выполнено, все и в силу теоремы Мерсера функция представима рядом (22) с положительными коэффициентами. Таким образом, в случае а) теорема доказана.

Случай б). В этом случае потенциальная функция является симметричной матрицей К с элементами

где число точек пространства Тогда, как известно,

где координата собственного вектора матрицы К, — соответствующее ему собственное значение. Для положительности всех (аналогично случаю необходимо и достаточно, чтобы для любого -мерного вектора

или .

Выражая через многомерное преобразование

Фурье функции получим

Поскольку по условию теоремы больше нуля при,

Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим потенциальную функцию

Как известно, преобразование Фурье функции, зависящей от является функцией, зависящей от Поэтому при вычислении преобразования Фурье такой функции можно вычислить его при а затем вместо со? подставить

Таким образом,

Из (28) в силу теоремы I следует, что потенциальная функция вида (27) раскладывается в ряд (20) на любом множестве указанного в формулировке теоремы I типа.