Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. О выборе потенциальной функции в пространстве вершин m-мерного куба.Из различных симметрических пространств, с которыми приходится встречаться на практике, наибольшее значение имеет пространство вершин Нам будет удобно считать, что координаты имеет евклидову длину 2. В качестве расстояния между двумя вершинами
равное числу несовпадающих разрядов в кодах рассматриваемых вершин. Пространство вершин можно показать, что и любое изометрическое преобразование может быть получено таким же образом. Выясним теперь, каким образом линейное пространство функций, заданных на пространстве Хэмминга, расслаивается на подпространства
так что функции, выписанные в
причем индексы Покажем, что функции, выписанные в изометрическое преобразование может быть получено последовательным применением элементарных. Поэтому линейная оболочка, натянутая на эти функции, является инвариантным подпространством, на котором задано представление группы изометрических преобразований. Кроме того, в любом из этих инвариантных подпространств нельзя выбрать инвариантного подпространства меньшей размерности, поскольку для любой пары функций Из сказанного выше следует, что общее количество слоев с учетом нулевого слоя равно Подсчитаем значения
Для слоя
где суммирование проводится по всем наборам индексов Обозначим
Рассмотрим совокупность всех
По этой формуле можно подсчитать, в частности,
и т. д. Подсчитаем значения
Поэтому
и, следовательно, в соответствии с формулой (83) значение функционала качества (40) с ядром (81) на функциях из слоя
Формула (99) показывает, что значения функционала увеличиваются с ростом номера слоя Это находится в полном соответствии с интуитивными представлениями об усложнении функций (97) при переходе в (97) от верхних строчек к нижним. Действительно, можно показать, что каждая из функций, записанная в
Рис. 10. На рисунке В соответствии с замечанием в конце пункта 4, значения (99) функционала характеризуют сложность функций растет число ее перемен знака, экстремумов и других интуитивных показателей сложности. Перейдем теперь к вопросу о разложении в ряд функции расстояния (в частности, потенциальной функции), заданной в пространстве Хэмминга, по системе (98) функций
Однако практическое использование формулы (76) приводит к сложным вычислениям, связанным с суммированием рядов. В ряде случаев оказывается возможным вычислять (точно или приближенно) коэффициенты разложения не прибегая к прямому вычислению по формуле (76), а используя следующее тождество:
Для доказательства формулы (100) рассмотрим следующее выражение:
Раскрывая в этом выражении скобки и располагая члены по степеням и, убеждаемся, что множители при
С другой стороны, замечаем, что число пар
Из сравнения (102) и (103) следует формула (100). В качестве примера точного вычисления коэффициентов в ряд функции
При этом из (100) следует тождество:
или (после замены параметра и его значением, выраженным через а) тождество
Таким образом, для функции
Из (104) видно, что при положительных а (т. е. при убывающей с возрастанием Покажем теперь, как может быть использована формула (100) для асимптотической (при
где
Суммируя затем по
Левая часть этого выражения представляет собой полином С. Н. Бернштейна функции
причем погрешность убывает с ростом от равномерно по Допустим теперь, что
являющееся асимптотически точным при Формула (107) позволяет проверить, может ли служить функция
|
1 |
Оглавление
|