§ 1. Аппроксимация функции при отсутствии помех

1. Постановка задачи.

Рассматривается следующая задача. В пространстве X существует не известная заранее функция

Требуется, зная лишь конечное число случайно наблюденных значений вектора х и соответствующих значений у, аппроксимировать неизвестную функцию

Подобного рода задачи аппроксимации неизвестной функции по наблюденным данным возникают, например, при восстановлении статических характеристик объекта, когда не может быть поставлен систематический эксперимент и приходится довольствоваться данными, полученными в процессе нормальной эксплуатации.

В последние годы такая задача стала особенно актуальной в связи с развитием ряда методов построения самонастраивающихся систем, в основе которых лежит автоматическое воспроизведение характеристик объекта в процессе управления.

Прямое приложение обычных методов теории аппроксимации функций к решению задачи, рассматриваемой в настоящей главе, затруднено тем, что по постановке задачи невозможно гарантировать какой-либо регулярный закон выбора значений аргумента и приходится довольствоваться его значениями, выбираемыми случайно. В этой главе для решения такой задачи используется метод потенциальных функций.

Как указывалось в главе II, мы будем различать задачу восстановления и задачу приближения функции При постановке задачи восстановления предполагается, что в пространстве X существует система функций такая, что функция представима рядом

т. е. что (см. § 4 гл. II). Иногда приходится

делать более жесткое предположение,

При постановке задачи о приближении функции предположения типа (2) и (3) не делаются. В. обоих случаях считается, что точки в которых значение функции известно, появляются в дискретные моменты времени случайно и независимо с некоторой не известной заранее плотностью вероятности, о которой предполагается лишь, что она отлична от нуля почти всюду в той области пространства в которой требуется восстановить функцию