2. Квадратичные функционалы качества на симметрических пространствах.

Теперь перейдем к заданию вида функционала оценивающего «качество» функции т. е. ее «гладкость», невычурность и т. д. С точки зрения интуитивных представлений о качестве функций естественно потребовать, чтобы функционал обладал следующими свойствами:

где любая отличная от нуля константа, любое изометрическое преобразование симметрического пространства X, на котором задана в себя. Действительно, умножение функции на отличную от нуля константу не меняет ее «спектрального состава», который и определяет качество функции. Второе же требование оправдывается тем, что функция есть просто «сдвинутая» функция

В дальнейшем рассматриваются функционалы качества следующего вида:

где

а ядро можно без ограничения общности считать симметричным:

Конкретный вид функционала определяется выбором ядра Присутствие в знаменателе выражения (35) величины приводит к тому, что требование (33) удовлетворяется автоматически при любом ядре Требование же (34) существенно ограничивает возможный вид ядра Именно, имеет место следующая теорема.

- Теорема II. Пусть X — симметрическое пространство. Тогда для того, чтобы функционал (35) удовлетворял условию (34) при любой функции и любом изометрическом преобразовании А, необходимо и достаточно, чтобы ядро было функцией расстояния между точками х и у:

Предпошлем доказательству теоремы II следующую лемму.

Лемма Для того чтобы функция двух переменных У) у заданная на конечном симметрическом пространстве X, была функцией расстояния необходимо и достаточно, чтобы для любого изометрического преобразования А

Доказательство леммы Необходимость условия леммы сразу следует из определения изометричности преобразования, так как

Докажем достаточность условий леммы. Пусть имеются две пары, точек у Надо доказать, что если то из условия леммы следует, что

В силу симметричности пространства найдется такой оператор А, что

Тогда но по условию леммы т. е. Лемма доказана.

Доказательство теоремы II. Запишем теперь требование (34) в следующей форме:

Знаменатели в обеих частях этого выражения равны, так как в суммах аргументы пробегают все значения из X по одному разу. Поэтому после замены переменных из (36) получаем

Это равенство по условию теоремы II верно для любых функций Отсюда сразу следует, что функции совпадают:

Поскольку (38) должно выполняться по условию теоремы при любом изометрическом преобразовании А, можно воспользоваться доказанной выше леммой. Теорема II доказана.

Теорема II позволяет переписать выражение (35) в виде

Воспользовавшись утверждением теоремы II, можно показать, что функционал (39) однозначно связан с функционалом

зависимостью

где С — константа, определяемая ядром Для определения этой константы введем в рассмотрение функцию значение которой равно числу точек пространства X, лежащих на сфере радиуса с центром в произвольной точке х. В силу симметричности пространства не зависит от того, какая точка является центром сферы. Выражение для константы С имеет вид

Действительно, раскрывая скобки в формуле (40) и замечая, что х и у — немые переменные, получаем

Выполним в (43) сначала операцию суммирования по х, проводя это суммирование последовательно по сферам с радиусами с центром в некоторой

фиксированной точке у. В силу симметричности пространства число точек на сфере радиуса не зависит от выбора точки у, в которой расположен центр сферы. Поэтому сумма

не зависит от у. Проводя теперь в (43) суммирование по у, в силу определения получаем формулу (41).

Запись функционала качества в форме (40) удобна в том отношении, что она более наглядно отражает интуитивные представления о качестве функции, так как в нее непосредственно входит разность значений функции в точках х и у, находящихся на расстоянии В частности, если ядро неотрицательно, то функционал принимает минимальное (нулевое) значение на функции — константе. При этом в связи с тем, что с «ухудшением» функции увеличиваются, вообще говоря, разности можно считать, что с ростом значения функционала (40) функция «ухудшается», Наоборот, в соответствии с формулой (41) при положительном ядре «ухудшению» функции соответствует уменьшение функционала (39).