Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Выбор потенциальной функции в случае, когда пространство X — множество вершин m-мерного куба.Рассмотрим теперь пространство, состоящее из вершин -мерного куба с центром, расположенным в начале координат и со стороной, равной двум (так что координаты вершин равны . Введем в этом пространстве обычное евклидово расстояние между точками
или расстояние по Хэммингу
которое, как указывалось выше, равно числу несовпадений знаков одноименных координат вершин х и у. Поэтому
и в связи с тем, что соотношение между расстояниями по Евклиду и Хэммингу столь просто, можно с одинаковым успехом пользоваться любым из этих расстояний. Для определенности мы будем в дальнейшем использовать расстояние по Хэммингу, обозначая его просто через Ясно, что принимает лишь целочисленные значения Пространство вершин -мерного куба с так введенной метрикой называется пространством Хэмминга. Пространство Хэмминга подпадает под условия теоремы 1 (пункт и поэтому, если выбрать потенциальную функцию в форме то при выполнении условий теоремы 1 будет существовать система функций такая, что имеет место разложение (20). Как уже отмечалось, эта теорема не конкретизирует систему функций Между тем для рассматриваемого здесь частного случая — пространства Хэмминга — можно детализировать связь между выбором функции и рядом (20). Ниже приводятся без доказательств некоторые факты, касающиеся этой связи. Доказательства этих утверждений вытекают из рассмотрения метрических пространств более общего вида — так называемых симметрических пространств, частным случаем которых является пространство Хэмминга. Симметрическим пространствам посвящен следующий параграф, где, в частности, будут выведены все формулы, использованные в приводимых ниже утверждениях. 1°. Какова бы ни была функция система функций по которой раскладывается функция в ряд (20), есть каноническая система функций на вершинах -мерного куба, введенная в § 1 (формула (14)) Обратим внимание на то, что в иных пространствах система зависит, вообще говоря, от выбора В пространстве же Хэмминга (и вообще в симметрических пространствах; см. § 3) система всегда одна и та же — каноническая, а от выбора зависят лишь коэффициенты разложения (20). 2°. Какова бы ни была функция коэффициенты при гармониках одного и того же порядка одинаковы, так что разложение (20) в данном случае имеет вид
где число различных гармоник порядка, а — общий коэффициент при всех гармониках порядка. 3°. Каждая из внутренних сумм
входящих в формулу (29), является функцией только расстояния т. е.
Отсюда следует, что любая функция может быть представлена в виде
т. е. система функций является полной системой на дискретном множестве точек Более того, система функций где ортонормирована с весом т. е.
4°. Из пункта 2° следует, что задание потенциальной функции как функции расстояния обеспечивает разложение потенциальной функции в ряд, в котором гармоники одного и того же порядка входят с одинаковым весом. Наоборот, из пункта 3° следует, что каждая потенциальная функция, в разложении которой гармоникам одного и того же порядка придан одинаковый вес, есть функция расстояния. Этот факт хорошо согласуется с развивавшимися в § 1 представлениями о том, что гармоники одного и того же порядка в равной мере характеризуют сложность восстанавливаемой функции. В заключение этого параграфа заметим, что определяемые в силу (30) функции обладают всеми свойствами обычных систем гармоник. Именно, с ростом номера растет сложность функций (в частности, число нулей и число экстремумов на отрезке Поэтому, работая в пространстве Хэмминга, можно задаваться потенциальной функцией в форме ряда (31), привлекая для выбора коэффициентов те общие соображения, о которых шла речь в начале параграфа.
|
1 |
Оглавление
|