3. Выбор потенциальной функции в случае, когда пространство X — множество вершин m-мерного куба.

Рассмотрим теперь пространство, состоящее из вершин -мерного куба с центром, расположенным в начале координат и со стороной, равной двум (так что координаты вершин равны .

Введем в этом пространстве обычное евклидово расстояние между точками

или расстояние по Хэммингу

которое, как указывалось выше, равно числу несовпадений знаков одноименных координат вершин х и у. Поэтому

и в связи с тем, что соотношение между расстояниями по Евклиду и Хэммингу столь просто, можно с одинаковым успехом пользоваться любым из этих расстояний. Для определенности мы будем в дальнейшем использовать расстояние по Хэммингу, обозначая его просто через Ясно, что принимает лишь целочисленные значения Пространство вершин -мерного куба с так введенной метрикой называется пространством Хэмминга.

Пространство Хэмминга подпадает под условия теоремы 1 (пункт и поэтому, если выбрать потенциальную функцию в форме то при выполнении условий теоремы 1 будет существовать система функций такая, что имеет место разложение (20). Как уже отмечалось, эта теорема не конкретизирует систему функций Между тем для рассматриваемого здесь частного случая — пространства Хэмминга — можно детализировать связь между выбором функции и рядом (20). Ниже приводятся без доказательств некоторые факты, касающиеся этой связи. Доказательства этих утверждений вытекают из рассмотрения метрических пространств более общего вида — так называемых симметрических пространств, частным случаем которых является пространство Хэмминга. Симметрическим пространствам посвящен следующий параграф, где, в частности, будут выведены все формулы, использованные в приводимых ниже утверждениях.

1°. Какова бы ни была функция система функций по которой раскладывается функция в ряд (20), есть каноническая система функций на вершинах -мерного куба, введенная в § 1 (формула (14))

Обратим внимание на то, что в иных пространствах система зависит, вообще говоря, от выбора В пространстве же Хэмминга (и вообще в симметрических пространствах; см. § 3) система всегда одна и та же — каноническая, а от выбора зависят лишь коэффициенты разложения (20).

2°. Какова бы ни была функция коэффициенты при гармониках одного и того же порядка одинаковы, так что разложение (20) в данном случае имеет вид

где число различных гармоник порядка, а — общий коэффициент при всех гармониках порядка.

3°. Каждая из внутренних сумм

входящих в формулу (29), является функцией только расстояния т. е.

Отсюда следует, что любая функция может быть представлена в виде

т. е. система функций является полной системой на дискретном множестве точек Более того, система функций где ортонормирована с весом т. е.

4°. Из пункта 2° следует, что задание потенциальной функции как функции расстояния обеспечивает разложение потенциальной функции в ряд, в котором гармоники одного и того же порядка входят с одинаковым весом. Наоборот, из пункта 3° следует, что каждая потенциальная функция, в разложении которой гармоникам одного и того же порядка придан одинаковый вес, есть функция расстояния.

Этот факт хорошо согласуется с развивавшимися в § 1 представлениями о том, что гармоники одного и того же порядка в равной мере характеризуют сложность восстанавливаемой функции.

В заключение этого параграфа заметим, что определяемые в силу (30) функции обладают всеми свойствами обычных систем гармоник. Именно, с ростом номера растет сложность функций (в частности, число нулей и число экстремумов на отрезке Поэтому, работая в пространстве Хэмминга, можно задаваться потенциальной функцией в форме ряда (31), привлекая для выбора коэффициентов те общие соображения, о которых шла речь в начале параграфа.