Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Оценка скорости сходимостиТеоремы, установленные в §§ 3—5, дают достаточные признаки сходимости в том или ином смысле случайного процесса. При сопоставлении различных процедур существенно не только установить факт их сходимости, но и оценить их асимптотику, т. е. поведение процесса после большого числа шагов. Наибольший интерес при этом представляет оценка скорости сходимости «сверху», т. е. мажорирование изучаемого процесса некоторыми детерминированными и стремящимися к нулю функциями. Говоря выше о сходимости случайных процессов, мы рассматривали различные определения этого термина. В частности, мы рассматривали сходимость математических ожиданий (сходимость в среднем) и сходимость почти всех реализаций (сходимость почти наверное). Переходя к оценке асимптотики, также можно оценивать как поведение различных средних характеристик случайного процесса (например, математического ожидания), так и поведение почти всех реализаций. Различие между этими двумя типами оценок в известном смысле подобно различию между сходимостью в среднем и сходимостью почти наверное: оценка скорости убывания математических ожиданий ничего не говорит о скорости стремления к нулю отдельных реализаций, а оценка скорости сходимости почти всех реализаций дает более глубокие сведения о поведении случайного процесса, хотя и не гарантирует каких-либо оценок для скорости сходимости математических ожиданий. Имея это в виду, далее мы установим теоремы, позволяющие оценивать скорость сходимости для обоих случаев. Условия теорем о скорости сходимости, которые устанавливаются в этом параграфе, отличаются от условий теорем о сходимости в § 3. Эти различия проявляются по-разному в случаях, когда рассматриваются оценки скорости сходимости математических ожиданий или скорости сходимости реализаций. Начнем с рассмотрения оценок скорости сходимости математических ожиданий. Рассмотрим сначала способ получения оценок сверху. В теоремах о сходимости § 3 фигурировали случайные последовательности функций
(см. формулу (8) условия А). Переходя в этом неравенстве от условных к безусловным математическим ожиданиям и полагая
Все конкретные процессы метода потенциальных функций, рассмотренные в этой книге, при надлежащем выборе
где
где Теорема XVI. Пусть задан случайный процесс
Пусть, кроме того, существует последовательность положительных чисел
Тогда существует константа
Доказательство теоремы XVI. Нам достаточно доказать справедливость неравенства (220) при пп. Действительно, если установлено существование такой константы
то, выбирая новую константу
находим, что неравенство (220) справедливо при всех Пусть сначала выполнено условие (218). Введем вспомогательную переменную
Тогда, подставляя в формулу
В соответствии с условием (218) это неравенство при
Суммируя эти неравенства от
Поскольку
Возвращаясь к определению величин Предположим теперь, что выполнено не условие (218), а условие (219), и докажем неравенство (221) по индукции. Пусть при некотором
Покажем, что неравенство выполнено и при
Но поскольку С 11,
и в силу (219)
Поэтому, усиливая неравенство (225), получаем
и тем самым устанавливаем, что из того факта, что (221) верно для некоторого
так что
Теорема доказана. Сделаем теперь следующее замечание. В условиях неравенств (214) и (215) эта теорема позволяет установить оценки для математического ожидания величины
Тем самым в исследуемых процессах оказывается выполненным двустороннее неравенство
Условие (227) вместе с утверждением теоремы XVI позволяет очевидным образом оценить сверху и математическое ожидание величины
Продолжая рассмотрение оценок математических ожиданий величин
позволяющее минорировать последовательность Теорема XVII. Пусть задан случайный процесс
Пусть, кроме того, существует последовательность положительных чисел 0 таких, что при
Тогда существует константа
Доказательство теоремы XVII полностью аналогично доказательству теоремы XVI в случае, когда выполнено условие (218), если в этом доказательстве изменить смысл всех неравенств на противоположный. В отношении теоремы XVII можно сделать замечание, аналогичное замечанию, высказанному в связи с теоремой XVI. Именно, неравенство (215) позволяет вместе с утверждением теоремы XVII оценить снизу не только математическое ожидание величины
Таким образом, если одновременно выполнены условия теорем XVI и XVII, то для математического ожидания величины
Если, кроме того, выполнено неравенство (227), то аналогичная оценка имеет место и для математических ожиданий величин
Перейдем теперь к оценкам скорости сходимости почти всех реализаций. Для большей очевидности выкладок при доказательстве теоремы XVIII об оценках скорости сходимости почти всех реализаций будем предполагать существование плотностей вероятности Для формулировки теоремы нам потребуется ввести ряд вспомогательных понятий. Пусть фиксированы числовая последовательность
Определим еще множество
Введенные понятия позволяют сформулировать следующую теорему, устанавливающую оценку скорости сходимости почти всех реализаций. Теорема XVIII. Пусть последовательности начиная с некоторого
где В — константа, не зависящая от С.
Тогда для любого
Замечание. Может показаться, что неравенство (239) для конкретных процессов практически невозможно проверить из-за сложности определения величин Доказательство теоремы XVIII. Обозначим через
Очевидно,
и
Докажем теперь вспомогательное неравенство
Для доказательства этого неравенства рассмотрим величину (кликните для просмотра скана) По определению множества
равны
Поэтому, учитывая, что
из (246) получаем
Вспоминая определение
последнее неравенство можно записать в виде
эквивалентном (244). Из условия 2° теоремы (формула
Введем теперь новые переменные
Формула (247) в этих переменных переписывается так:
Используя условие 1° теоремы (формула (238)), усилим это неравенство при
Суммируя неравенства (249) от
Усиливая это неравенство отбрасыванием справа члена
В последнем неравенстве учтено второе неравенство в (238) и тот факт, что
получаем
Но поскольку
то выбором достаточно большого С можно одновременно удовлетворить соотношения
что влечет в силу (251) неравенство В заключение настоящего параграфа рассмотрим вопрос о проверке условий доказанных выше теорем при их использовании для оценки скорости сходимости конкретных процессов метода потенциальных функций. Условия этих теорем требуют, во-первых, специального подбора мажорирующих (или минорирующих) последовательностей Лемма VI. Пусть для рекуррентных соотношений (154) с конечномерным вектором с выполнены условия теоремы XIV, причем минимум функции 1°. Если
2°. Если для каждого
то для любого выполнено соотношение (239), где
и
Замечание к лемме VI. Заметим, что условие пункта 2° леммы более слабое, нежели условие пункта 1°. Поэтому в тех случаях, в которых выполнено условие пункта 1°, справедливы утверждения как пункта 1°, так и пункта 2° леммы с Доказательство леммы VI. Выполнение условий теоремы XIV, конечномерность вектора с и существование минимума функции
где
В условиях теоремы XIV установлены неравенства (194), (195), из которых следует, что
где
Поскольку следует неравенство
Из неравенства (255) следует утверждение Г леммы VI, если в этом неравенстве перейти к безусловным математическим ожиданиям и воспользоваться условием
Для доказательства утверждения 2° леммы VI умножим обе части неравенства (255) на плотность вероятности
Воспользовавшись обозначениями (236), (237), получим
Если обозначить
то на множестве
Тогда в силу условия пункта 2° леммы VI найдется такая константа
Поэтому в интеграле, фигурирующем в правой части неравенства (256), можно заменить выражение
|
1 |
Оглавление
|