§ 2. Аппроксимация функции при наличии помех

В предыдущем параграфе задача об аппроксимации функции по ее значениям в случайно наблюдаемых точках рассматривалась в предположении, что наблюдаемые величины равны значениям функции Часто, однако (например, из-за ошибок наблюдения), наблюдаемые отличаются от истинных значений функции благодаря наличию помех, т. е. наблюдаемые значения определяются через значения вектора формулой

где некоторая помеха. Будем предполагать, что случайная величина удовлетворяет условиям:

а) значения случайных величин в разные моменты измерения независимы;

б) условное распределение вероятности вёличины при условии не зависит от момента измерения

в) условное математическое ожидание помехи а дисперсия ограничена всех х.

Описанные в пункте 2 § 1 алгоритмы могут быть следующим образом видоизменены для решейия задачи аппроксимации функции при условии, что наблюдаемые величины определяются выражениём (15).

По мере появления точек и соответствующих величин приближение восстанавливаемой

функции определяется по рекуррентному соотношению

где по-прежнему потенциальная функция, положительные числа, для которых расходится, сходится, а нулевое приближение например, тождественный нуль.

Рассматриваемая в настоящем параграфе задача может быть понята как задача оценки неизвестных параметров разложения (2) по результатам наблюдений при наличии помех (в тех случаях, когда ряд конечен). Задача такого рода рассматривалась еще Гауссом и к настоящему времени имеет обширную литературу. Разработанные для решения этой задачи методы (например, метод наименьших квадратов) могли бы быть в принципе применены и к задаче, рассматриваемой нами. Однако связанные с этими методами вычислительные трудности быстро нарастают с увеличением числа оцениваемых параметров. Техника же вычислений, связанная с предлагаемым здесь методом потенциальных функций, не зависит от числа параметров, поскольку при практических вычислениях система функций может быть выбрана так, что ряд К. суммируется аналитически (см. гл. III). С другой стороны, персептронная реализация алгоритма (16) дает способ оценки параметров разложения (2), и в этом смысле предложенный алгоритм пригоден для решения задач указанного выше класса.