§ 3. О выборе потенциальной функции в симметрических пространствах

1. Симметрическое пространство.

В этом параграфе в качестве основного пространства рассматриваются метрические пространства специального класса, называемые далее симметрическими. Пространство вершин -мерного куба, с которым часто приходится иметь дело в задачах обучения, является важным частным случаем

таких пространств. Для симметрических пространств оказывается возможным высказать более точные соображения о выборе системы функций и потенциальной функции а также обосновать целесообразность выбора потенциальной функции как функции расстояния.

Определение симметрического пространства опирается на понятие точечного изометрического преобразования метрического пространства в себя.

Преобразование метрического пространства в себя называется изометрическим, если при нем сохраняются расстояния между любыми парами точек. Если А есть изометрическое преобразование, так что точка х в результате преобразования А переходит в точку то в соответствии с определением для любой пары точек имеет место соотношение

Ясно, что последовательное применение нескольких изометрических преобразований есть изометрическое преобразование и что преобразование, обратное изометрическому, существует и также является изометрическим.

Поэтому множество изометрических преобразований образует группу, где, как обычно, под произведением двух элементов (преобразований) понимается последовательное выполнение этих преобразований; в качестве единицы группы можно рассматривать тождественное преобразование, а обратное преобразование играет роль обратного элемента.

Метрическое пространство X назовем симметрическим, если для любых двух пар точек , находящихся на одинаковом расстоянии существует изометрическое преобразование А пространства X в себя, при котором эти пары совмещаются, т. е. в результате преобразования

Примером симметрического пространства является уже упоминавшееся выше множество вершин -мерного куба, содержащее точек, если в качестве расстояния принять расстояние по Хэммингу. Изометрическими преобразованиями являются здесь «повороты» и «отражения» куба (подробнее далее см. пункт 5).

Другим примером симметрического пространства является множество, состоящее из точек, равномерно размещенных по окружности так, что длины кратчайших дуг между любой парой соседних точек одинаковы. В этом пространстве за расстояние между любыми двумя точками можно принять длину кратчайшей дуги, их соединяющей. Изометрическими преобразованиями являются здесь повороты и отражения относительно соответствующих диаметров.

В дальнейшем, говоря о симметрическом пространстве, будем предполагать, что оно содержит лишь конечное число точек.