Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Условия сходимости процедуры Роббинса — Монро метода стохастической аппроксимацииВ настоящем параграфе теоремы предыдущего параграфа используются для установления достаточных условий сходимости процедуры Роббинса — Монро. Напомним, что эта процедура заключается в построении последовательности конечномерных векторов
где Приводимые ниже теоремы VII—XI обобщают и дополняют известные теоремы Дж. Блума [9] и Е. Г. Гладышева [10] метода стохастической аппроксимации. Теорема VII, так же как и теоремы Блума и Гладышева, требует, чтобы решение уравнений регрессии (86) было единственным. Теоремы VIII—XI не требуют единственности решения уравнений регрессии. Во всех доказываемых ниже теоремах, кроме теоремы XI, предполагается, что фигурирующая в (4) последовательность удовлетворяет обычным для процедуры Роббинса — Монро ограничениям:
Теорема XI позволяет ослабить эти ограничения, заменив их условиями (5), (66):
Введем в рассмотрение неотрицательную дважды непрерывно дифференцируемую функцию аргумента
Во всех теоремах настоящего параграфа предполагается, что функции Условие Б.
где а, Ь, с — некоторые константы. Кроме того, без специальных оговорок предполагается существование в силу случайного процесса Обратим внимание на некоторые особенности использования теорем предыдущего параграфа при доказательстве теорем VII—XI. Роль условия Б в теоремах настоящего параграфа заключается в том, что выполнение этого условия гарантирует, что случайные последовательности
в силу рекуррентной процедуры (4) и условия (87) удовлетворяют условию А (см. § 2) с той лишь несущественной разницей, что неравенства (8) в условии А выполняются, начиная с некоторого не обязательно равного единице (см. далее формулу (93) при доказательстве теоремы VIII). При этом
и поэтому в силу (87), кроме того,
В теоремах VII—X соотношения (87) предполагаются выполненными, и поэтому в условиях этих теорем оказывается выполненным условие А, дополненное соотношением (89). В связи с этим в условиях теорем VII—X выполнено условие 1° теорем I—III из § 3. В теореме XI, в которой требование (87) заменяется более слабым требованием (88), из условия Б также следует условие А, но для установления этого факта приходится использовать дополнительное ограничение (условие 2° теоремы XI). При этом (см. формулу (99) при доказательстве теоремы XI)
и в силу (88) выполнено условие 1° теоремы V § 3. Для того, чтобы можно было использовать теоремы § 3, надо еще обеспечить выполнение остальных условий этих теорем. Кроме того, надо гарантиропать, что из факта стремления Теорема VII. Пусть 1°. Условию 2°. 3°. Тогда при
Если функция
то утверждение (90) имеет место и в случае, когда условие 3° заменяется более слабым условием 3а°. Ниже будет доказано, что теорема VII является частным случаем более общей теоремы VIII, в связи с чем специальное доказательство теоремы VII не проводится. Теорема VII позволяет устанавливать сходимость процедуры Роббинса — Монро лишь в том случае, когда решение системы уравнений (86) единственно. Требование единственности решения системы уравнений регрессии отражено в условиях 2° и 3° (или Для того чтобы сформулировать теорему VIII, обозначим через У множество решений системы уравнений (86) и будем говорить, что
если
Теорема VIII. Пусть 1°. Условию Б. 2°. 3°. Для каждой последовательности Тогда при
Если же функция 2а°. Функция За°. Для каждой ограниченной последовательности, на которой Прежде чём перейти к доказательству теоремы VIII, сформулируем и докажем лемму III, которая нам понадобится также для доказательства теорем IX и Лемма III. Пусть
то
Доказательство леммы III. Докажем, например, что из Покажем сначала, что для любых
Выберем последовательность нее можно выбрать еходящуюся подпоследовательность. Пусть у — ее предельная точка. В силу непрерывности по у функций
Эти соотношения противоречат определению множества У: в силу этого определения у должно принадлежать У и, следовательно, должно быть выполненным соотношение Утверждение
больше, чем
Такое множество реализаций найдется в силу ограниченности почти всех реализаций случайного процесса. По
больше, чем
имеет вероятность, не меньшую, чем
Лемма III доказана. Доказательство теоремы VIII. Доказательство этой теоремы опирается на теоремы III и
удовлетворяют условиям теоремы III § 3, а в случае, если Действительно, в силу рекуррентной процедуры (4) имеем
Воспользовавшись разложением Тэйлора с остаточным членом в форме Пеано, получаем
где Переходя к математическому ожиданию по
и поэтому в силу условия Б
В силу условий (87) соотношение (93) влечет за собой выполнение условия 1° теоремы III § 3, начиная с такого
Условие 2° гарантирует при этом, что
Таким образом, первая часть теоремы VIII доказана. Если же Покажем, каким образом из теоремы VIII может быть получена теорема VII. Из условия 2° теоремы VII. непосредственно следует условие 2° теоремы VIII. Выполнение, условия 3° теоремы VIII гарантируется тем, что при выполнении условия 3° теоремы VII из В случае неединственности решения системы уравнений (86) могут оказаться полезными следующие теоремы IX и Теорема IX. Пусть 1°. Условию Б. 2°. 3°. Функция 4°. Функция
мажорируется функцией Тогда при
Доказательство теоремы IX. Докажем сначала, что Заметим, что, как показано при доказательстве теоремы VIII (см. формулу (93) и следующий за ней текст), условие 1° теоремы III § 3 следует лишь из условия Б и соотношений (4) и (87). Но условие Б и соотношения (4) и (87) выполнены и в теореме IX, а первые условия теорем III и 1а совпадают. Поэтому условие 1° теоремы 1а выполнено. Проверим выполнение условия 2° теоремы 1а. Для этого, воспользовавшись соотношением (4), применим формулу Тейлора к функции
Переходя в (95) к математическому ожиданию по
Наконец, условие 3° теоремы 1а следует из условия 2° теоремы IX. Тем самым все условия теоремы 1а выполнены, и поэтому
Кроме того, заметим, что, как было показано при доказательстве теоремы 1а, реализации случайного процесса
Теорема IX доказана. Теорема X, устанавливающая условия сходимости почти наверное, отличается от теоремы IX лишь условием 4°. Это условие 4° и позволяет доказать сходимость процедуры (4) не только по вероятности, но и почти наверное. Теорема 4°. Функции
существуют и ограничены в любой ограниченной области изменения переменной Тогда при
Доказательство теоремы сходимости по вероятности устанавливается сходимость почти наверное, и с этой целью используется не теорема 1а, а теорема На из § 3. Для доказательства того факта, что
нужно проверить выполнение условий теоремы IIа. Условие 1° теоремы На совпадает с уже проверенным при доказательстве теоремы VIII соответствующим условием теоремы III (это устанавливается лишь с использованием условия 1° теоремы VIII, которое совпадает с условием 1° доказываемой теоремы). Условие 2° теоремы IIа следует из (95) и из условия 4° теоремы
где
Функция Поскольку все три условия теоремы IIа выполнены, в силу утверждения этой теоремы справедливо соотношение (97). Кроме того, как было доказано при доказательстве теоремы IIа, почти все реализации случайного процесса
Теорема X доказана. Условие 4° теоремы X является в приложениях весьма ограничительным. Например, если пытаться использовать эту теорему для доказательства сходимости процедуры восстановления неизвестной функции (см. гл. VI), то это условие означало бы, что ошибка измерения значения функции должна быть ограничена. В следующем параграфе будет приведена приспособленная к особенностям метода потенциальных функций теорема, не обладающая этим недостатком. Докажем теперь теорему XI, которая отличается от других теорем этого параграфа тем, что вместо условия (87) на выбор последовательности Теорема XI. Пусть 1°. Условию Б. 2°. Условию 2° теоремы Тогда при Условие 3° теоремы XI, очевидно, является существенно более сильным, нежели соответствующее условие теоремы VIII. Именно благодаря усилению этого условия оказывается возможным отказаться от требования (87), заменив его более слабым требованием (88). Однако при этом сходимость случайного процесса Несмотря на то, что условие 3° теоремы XI является жестким, в приложениях это условие часто выполняется. В качестве примера можно привести процедуру Роббинса—Монро для определения среднего значения случайной величины х. При этом
И, положив
имеем Условие 3° теоремы XI выполняется также при использовании метода потенциальных функций в некоторых задачах обучения (см. гл. VI и VII). В случае единственности решения системы уравнений (86) условие 2° теоремы XI может быть заменено более просто проверяемым условием 2° теоремы VII, поскольку в случае единственности из условия 2° теоремы VII следует условие 2° теоремы VIII (см. текст, следующий за доказательством теоремы VIII). Доказательство теоремы XI. Докажем, что Заметим, что формула (93) получена лишь с помощью условия Б и поэтому имеет место и в условиях теоремы XI. В силу условия 3° теоремы XI из (93) следует
В силу условий (88) соотношение (99) влечет за собой выполнение условия 1° теоремы V, начиная с такого
Утверждение теоремы XI следует из условия 2° и соотношения (100). Теорема XI доказана.
|
1 |
Оглавление
|