2. Описание алгоритма метода потенциальных функций для восстановления экстремизирующей функции.

В связи с тем, что задача построения классификации точек исходного пространства X, исходя из условия эстремизации функционала (42) с учетом (40), сведена теперь к нахождению линейной разделяющей функции в евклидовом спрямляющем пространстве, которая минимизирует функционал (2а) в этом пространстве, можно было бы в качестве рабочего алгоритма непосредственно использовать процедуру (34а), (36а) и (37а). Однако при формулировке этого алгоритма в терминах исходного пространства X выражение для подсчета свободного члена с (соотношение оказывается неудобным, так как при машинной реализации коэффициенты а следовательно, и суммы их квадратов в явной форме не вычисляются. Это затруднение можно обойти, несколько видоизменив алгоритм. Видоизмененный алгоритм будет отличаться от алгоритма (34а), (36а), (37а) только способом подсчета свободного члена.

Опишем сначала персептронную реализацию предлагаемого алгоритма. Далее нам будут удобны следующие

обозначения. Разделяющую функцию, построенную к шагу, будем записывать в виде

Появляющимся на входе алгоритма точкам в спрямляющем пространстве соответствует последовательность точек В соответствии с этой последовательностью в процессе работы алгоритма выстраиваются векторы и и числа и которые используются для построения приближения разделяющей плоскости (52).

Условимся говорить, что точка принадлежит если

и принадлежит В, если

Пусть на входе алгоритма появилась точка Рекуррентные соотношения, определяющие алгоритм, имеют следующий вид:

а) если , то

б) если , то

Таким образом, на каждом шаге алгоритма меняются либо только с и либо только с" и в зависимости от знака Начальные значения величин

определяются по первым двум показанным точкам:

Сравним теперь алгоритмы (34а), (36а), (37а) и (53) — (58). Способ подсчета коэффициентов разделяющей плоскости по формулам (36а) совпадает со способом подсчета коэффициентов с" по формулам (53) и (57). Способ подсчета свободного члена — формулам (54) и (58) отличается от способа подсчета свободного члена с? по формуле (37а) тем, что в первом случае для подсчета свободного члена используется специальная рекуррентная процедура. Далее будет видно, что эта процедура удобно трактуется и в исходном пространстве при машинной реализации.

Приступим к описанию машинной реализации. Пусть последовательно появляются точки В процессе работы алгоритма по этим точкам производится построение двух функций и двух чисел которые используются для построения приближения разделяющей функции в форме

Если на шаге алгоритма появилась точка то, как и ранее, принимается, что принадлежит А, если и что принадлежит В, если Тогда строится приближение, т. е. функции и числа по следующему правилу:

б) если то

Таким образом, на каждом шаге алгоритма меняются либо только либо только и в зависимости от знака Начальные значения величин, входящих в рекуррентные соотношения (61) — (66), определяются по первым двум показанным точкам

Очевидно, что при этом для всех

и, следовательно, в процедурах (53) — (58) и (61) -(66) на каждом шаге совпадают выстраиваемые константы Одновременно совпадают с учетом обозначений и разделяющие функции (52) и (60),