Потоки в сетях передачи данных

При изучении и моделировании процессов, происходящих в сетях передачи данных, широко используется понятие случайного потока. Случайным потоком называется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени. В теории сетей передачи данных применяются понятия потоков сообщений, перерывов связи и ошибок в каналах. Событиями в указанных потоках являются соответственно: поступления сообщений, перерывы связи и ошибки в каналах.

Поток может быть задан функцией распределения величины промежутка времени между моментами наступления событий

Если величины независимы в совокупности, то поток обладает ограниченным последействием. В случае для всех поток является рекуррентным.

Рекуррентный поток, для которого -называется пуассоновским. Для этого потока вероятность наступления за промежуток времени событий

а математическое ожидание числа событий, наступивших за время где — среднее число сообщений, поступающих в единицу времени.

Пуассоновский поток характеризуется отсутствием последействия. Если, кроме того, соблюдаются условия стационарности и ординарности, то пуассоновский поток будет простейшим. При этом стационарность потока выражает собой неизменность его вероятностного режима во времени, а ординарность —

практичекую невозможность совмещения двух или более событий в один и тот же момент времени. Величина X в случае пуассоновского потока обычно называется интенсивностью потока сообщений.

Если то поток является регулярным или детерминированным.

Пусть задан поток событий и — моменты их наступления. Каждому моменту поставим в соответствие переменную принимающую значение 0 или 1. Поток наступающих в моменты событий, для которых называется просеянным потоком.

Теорема. Просеянный пуассоновский поток с интенсивностью X будет также пуассоновским потоком, но с интенсивностью гели для произвольного величина с вероятностью с вероятностью

Теорема. Просеянный пуассоновский поток является потоком Эрланга степени, если для для всех остальных При этом промежутки между событиями подчиняются -распределению Эрланга

При поток Эрланга превращается в пуассоновский, а при вырождается в детерминированный.

Таким образом, операция просеивания не изменяет вероятностных свойств потока. В результате детерминированной операции просеивания образуется поток, который ближе к регулярному относительно исходного потока (т. е. менее случаен).

Потоки могут складываться. Поток, образованный наложением (суперпозицией) потоков, называется суммарным.

Теорема. Поток, образованный наложением пуассоновских потоков с интенсивностями является пуассоновским с интенсивностью

Теорема (предельная). Поток, образованный наложением произвольных потоков, стремится к пуассоновскому с если среднее число событий в единицу времени каждого из потоков примерно равно , т. е. ни один из составляющих потоков не оказывает преимущественного влияния на суммарный поток.

Приведенные теоремы о потоках являются теоретическим обоснованием широкого применения пуассоновского потока при анализе и синтезе сетей. С потоком сообщений связана еще одна, в общем случайная, величина — объем сообщения. Под объемом сообщения данных понимается число содержащихся в нем двоичных единиц информации.

В ряде случаев более целесообразно объем сообщений ассоциировать с числом двоичных единиц информации, которые необходимо передать по каналу связи для обеспечения заданного уровня мерности.

Поток сообщений задан полностью, если каждому моменту поставлена в соответствие случайная величина, определяющая объем сообщения поступившего в этот момент времени. Обычно объем сообщений задается функцией распределения причем дискретностью величины как правило, пренебрегают.

Если суммарный поток сообщений образуется несколькими источниками, причем источник генерирует поток с интенсивностью и объемами сообщений, имеющими функцию распределения то функция распределения объемов сообщений суммарного потока определяется соотношением

Если сообщения объединяются в пакеты и каждый пакет рассматривается как самостоятельное сообщение, то функция распределения объема такого пакета определяется сверткой функций распределения составляющих сообщений:

где — символ свертки.

В инженерной практике, как правило, используется гипотеза об экспоненциальном) распределении объемов сообщений, когда

где — средняя длина сообщений источника.

Если данная гипотеза относится только отдельным источникам, то в суммарном потоке согласно (1.6) длины сообщений будут иметь гиперэкспоненциальное распределение:

с математическим ожиданием

Если источники генерируют сообщения с одинаковыми экспоненциальными распределениями, то пакеты, составленные из сообщений, имеют распределение Эрланга.

Относительно потоков перерывов связи аналогичные выводы могут быть сделаны при рассмотрении источников перерывов.

Следует отметить, что в сетях с коммутацией каналов обычно рассматривается поток не сообщений, а требований на установление составного соединения.