Аналитическая оптимизация внутренних показателей надежности элементов сети

При заданных значениях показателей надежности элементов сети возникает задача внутренней оптимизации. Эта задача состоит в определении таких значений для отдельных элементов центров коммутации и каналов передачи данных, которые обеспечивают заданные границы надежности этих элементов при минимальных затратах.

В качестве элементов центров коммутации могут рассматриваться процессор, запоминающие устройства, каналы ввода—вывода, операционная система и фрагменты функционального программного обеспечения. Элементами каналов ПД являются мультиплексоры, устройства защиты от ошибок, устройства преобразования сигналов, специальная, каналообразующая и коммутационная аппаратура, фрагменты программного обеспечения, реализующие протоколы обмена по каналу.

Перечисленные элементы (как для канала передачи данных, так и для центра) в надежностном смысле образуют последовательные схемы и являются восстанавливаемыми объектами. Исходя из этого можно сформулировать обобщенную задачу оптимизации, приемлемую и для центров коммутации, и для каналов ПД, следующим образом: найти такие значения при которых обеспечивается

и выполняются ограничения

В этих соотношениях: — затраты на сокращение интенсивности потока отказов и средней длительности восстановления соответственно; — число элементов центра коммутации или канала; — требования по коэффициенту готовности и среднему времени восстановления; Кои — показатели надежности элемента.

В [64] для аппроксимации функций затрат на (повышение надежности предложено использовать функции следующего вида:

где — показатели надежности элементов гипотетической системы; — приращения показателей; — относительные затраты на обеспечение надежности в гипотетической системе:

Поскольку задача имеет два ограничения, то для ее решения используем метод частной оптимизации с контролем границ. Метод заключается в последовательном решении задачи оптимизации при одном ограничении и выборе наилучшего варианта. Если после расчета надежности гипотетической системы (канала или центра) с параметрами окажется, что

то, изменив частные показатели элементов получим

Тогда ограничение примет вид

Используя для решения задачи (4.77) при ограничении (4.83) метод неопределенных множителей Лагранжа, запишем

Дифференцируя последнее выражение и приравнивая нулю, получаем систему уравнений:

Эта система из уравнений имеет неизвестное Аког, , следовательно, допускает единственное решение. Подставляя (4.78) и (4.79) в (4.85) и (4.86), после дифференцирования находим:

После решения будем иметь:

Множитель Лагранжа найдем из (4.87) после подстановки (4.88) и (4.89):

В ряде случаев расчет по полученным соотношениям дает положительные значения Это объясняется тем, что функция затрат определяется и в области, где параметры надежности ниже показателей гипотетической системы. На ранних этапах системного проектирования иногда может оказаться целесообразным затраты перераспределить таким образом, чтобы ценою снижения надежности элементов, которым соответствуют положительные значения До; или повысить надежность других элементов. Однако на практике обычно нежелательно снижать достигнутый в отдельных элементах уровень надежности. Поэтому предпочтительнее получить хотя и не строго оптимальное, но практически более приемлемое решение.

С этой целью ограничим возможные значения и отрицательной областью, т. е. рассмотрим только те элементы, у которых в результате расчета оказались отрицательные значения Тогда ограничение примет вид

где номера элементов с положительными значениями — номера элементов с положительными значениями

Уравнения (4.85) и (4.86) решаются аналогично, но число уравнений становится равным Подставив полученное этом выражение в (4.91), найдем уравнение для вычисления

При решении уравнения в данном случае могут быть использованы численные методы. При найденных значениях необходимо проверить второе ограничение задачи (4.77) по . Если оно не выполняется, то необходимо увеличить затраты на сокращение длительности восстановления отказов, причем выбрать такой вариант, при котором это сокращение достигается наиболее экономичным образом.

Найдем значения при которых обеспечивается

и выполняется ограничение

где — параметры, полученные на предыдущем этапе решения задачи.

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

Дифференцируя, находим

Используя ограничения, получаем

Решение (4.92) может, так же как и на первом этапе, включать положительные значения Поскольку повышать длительность отказов относительно без нарушения ограничения по нельзя, то в качестве решения должно использоваться соотношение

где — номера элементов, для которых при решении (4.92) имеет положительные значения.

Таким образом, оптимальные значения приращений параметров надежности для элементов центров коммутации и каналов ПД при заданных граничных значениях определяются соотношениями (4.89) и (4.93).