§ 6. Решение треугольников

32. Косинус, синус и тангенс.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: а. На рисунке 94

Косинус угла зависит только от градусной меры угла.

Синусом острого угла а называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ (рис. 94):

Тангенсом острого угла а называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему АС (рис. 94):

Синус и тангенс угла, так же как и косинус, зависят только от величины угла.

Для а составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти или по значениям а найти соответствующий угол. Пояснения, как пользоваться этими таблицами, помещены там же (см.: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. — М.: Просвещение, 1988).

Для синуса, косинуса и тангенса углов имеют место следующие тождества:

Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин sin а, cos а или tg а, найти две другие.

Для любого острого угла а справедливы равенства

Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов приведены в таблице:

При возрастании острого угла а возрастают, a cos а убывает.

Значения синуса, косинуса и тангенса можно определить не только для острых углов, но и для любого угла от 0° до 180° (см. часть I).

Для любого угла выполняются равенства:

Пример 1. Записать в порядке возрастания числа

Решение. По теореме возрастает при возрастании а. Поэтому .

Пример 2. Упростить выражение

Решение. 1-й способ.

2-й способ.

33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Из определений а получаем следующие правила:

1. Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на

2. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на

3. Катет, противолежащий углу а, равен произведению второго катета на

Эти правила позволяют, зная одиу из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны, а зная две стороны, находить острые углы (с помощью специальных таблиц).

4. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

5. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого углв, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Название среднее пропорциональное» объясняется тем, что число является средним членом пропорции .

В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 95) АС прямой,

AD и BD — проекция катетов АС и ВС на гипотенузу. Согласно сказанному выше справедливы равенства

Пример. Наблюдатель, находясь на высоте 18 м, заметил под углом понижения в 6° 18 неизвестный объект. Найти расстояние (по горизонтали) от основания наблюдательного пункта до этого объекта.

Решение. По условию задачи Следовательно, известно, что