15. Треугольники.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Треугольник обозначается его вершинами. Вместо слова «треугольник» употребляется символ

На рисунке 42 изображен треугольник ABC; А, В, С — вершины этого треугольника; и — его стороны.

Углом треугольника при вершине А называется угол, образованный полупрямыми Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Т. 1.12. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. На рисунке 43, а отрезок — высота остроугольного на рисунке 43, б основание высоты тупоугольного — точка D — лежит на продолжении стороны

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. На рисунке 44 отрезок — биссектриса треугольника

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой

противолежащей стороны треугольника. На рисунке 45 отрезок — медиана треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Т. 1.13. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Пусть — средняя линия треугольника (рис. 46).

Теорема утверждает, что

Неравенством треугольника называется свойство расстояний между тремя точками, которое выражается следующей теоремой:

Т. 1.14. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Пусть А, В, С — три данные точки. Взаимное расположение этих точек может быть различным: а) две точки из трех или все три совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно; б) точки различны и лежат на одной прямой (рис. 47, а), одна из них, например В, лежит между двумя другими, в этом случае откуда следует, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других; в) точки не лежат

на одной прямой (рис. 47, б), тогда теорема 1.14 утверждает, что

В случае в) три точки А, В, С являются вершинами треугольника. Поэтому в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Пример 1. Существует ли треугольник со сторонами: а) б) ?

Решение. Для сторон треугольника должны выполняться неравенства:

В случае а) неравенство (2) не выполняется, значит, такого расположения точек быть не может; в случае б) неравенства выполняются, т. е. треугольник существует.

Пример 2. Найти расстояние между пунктами А и В, разделенными препятствием.

Решение. Для нахождения расстояния провешиваем базис и проводим прямые и (рис. 48). Находим точку М — середину Проводим . Из следует, что — средняя линия, т. е. (Т. 1. 13).

Измерив нетрудно найти