§ 97. Потенциальная энергия

Найдем, чему равна работа , совершаемая некоторой силой  при подъеме тела массы  на высоту . Будем считать, что движение тела происходит медленно и что силами трения можно пренебречь. Мы знаем (§ 94), что работа против силы тяжести не зависит от того, как мы поднимаем тело: по вертикали (как гирю в часах), по наклонной плоскости (как при втаскивании сапок в гору) или еще каким-либо способом. Во всех случаях работа . При опускании тела на первоначальный уровень сила тяжести произведет такую же работу, какая была затрачена силой  на подъем тела. Значит, поднимая тело, мы запасли работу, равную , т. е. поднятое тело обладает энергией, равной произведению силы тяжести, действующей на это тело, и высоты, на которую оно поднято. Эта энергия не зависит от того, по какому пути происходил подъем, а определяется лишь положением тела (высотой на которую оно поднято) и называется потенциальной энергией. Итак, потенциальная энергия  тела, поднятого на некоторую высоту, выражается формулой

.                                                                             (97.1)

При данном исходном положении тела работа, которую может совершить тело, т. е. его потенциальная энергия, зависит от того, насколько тело может опуститься. В гиревом механизме часов это определяется длиной цепочки, на которой висит гиря, в примере с наклонной плоскостью — высотой наивысшей точки наклонной плоскости над ее наинизшей точкой. В других случаях наинизший уровень не может быть так естественно определен. Например, если тело лежит на столе, то можно определять его потенциальную энергию той работой, которую оно совершило бы, опускаясь до пола, до уровня земли или до дна погреба и т. д. Поэтому нужно условиться заранее, от какого уровня отсчитывать высоту, а вместе с тем и потенциальную энергию тела. Выбрать этот уровень можно совершенно произвольно, так как во всех физических явлениях всегда бывает важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Изменение же потенциальной энергии будет, очевидно, одним и тем же, какой бы мы ни выбрали исходный уровень.

Если не оговорено противное, мы будем считать потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности земли, равной нулю. Тогда в формуле (97.1) в качестве  следует брать высоту тела над поверхностью земли. Если тело имеет значительные размеры, то под  в формуле (97.1) нужно понимать расстояние от поверхности земли (или от иного нулевого уровня) до центра тяжести тела.

Рис. 164. При переходе столба из положения  в положение ; сила тяжести не совершает работы, так как центр тяжести тела остается на месте. При переходе из положения  в положение  совершается работа

Определим, например, на сколько потенциальная энергия вертикально стоящего столба (рис. 164, положение ) больше потенциальной энергии того же столба, лежащего на земле (положение ). Представим себе, что столб переходит из положения  в положение  в два приема. Сначала он поворачивается вокруг центра тяжести (в данном случае около средней точки) в положение . При этом верхняя часть столба опускается, а нижняя поднимается, и сила тяжести совершает над верхней частью столба положительную, а над нижней — равную ей отрицательную работу, и полная работа силы тяжести равна нулю. Только при переходе из положения  в положение  сила тяжести совершает положительную работу. Следовательно, потенциальная энергия стоящего на земле столба больше потенциальной энергии столба, лежащего на земле, на величину , где  — масса столба и  — разность высот центра тяжести в положениях  и .

При подсчете потенциальной энергии жидкости массы , находящейся в цилиндрическом сосуде (рис. 165), следует взять высоту  центра тяжести жидкости  над нулевым уровнем, т. е. высоту  дна сосуда над нулевым уровнем, плюс половину высоты уровня жидкости в сосуде , так что потенциальная энергия

.

Рис. 165. к расчету потенциальной энергии жидкости в сосуде

97.1. Ящик массы 40 кг, размеры которого показаны на рис. 166, переведен из положения а) в положение б). Определите приращение потенциальной энергии ящика, считая, что его центр тяжести лежит на пересечении диагоналей.

Рис. 166. К упражнению 97.1

97.2. Водохранилище при гидростанции имеет цилиндрическую форму: его площадь равна , глубина равна 6 м. Дно водохранилища лежит на высоте 12 м над уровнем воды в отводном канале за гидростанцией. Какова потенциальная энергия воды в хранилище?