Главная > Математика: Справ. материалы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Многоугольники

28. Ломаная.

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 84, а показана простая ломаная. Ломаная на рисунке 84, б имеет самопересечения.

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. На рисунке 85 изображены замкнутые ломаные.

Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Т. 1.36.1 Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Пример. Звенья ломаной EFMO таковы: . Может ли отрезок ЕО равняться: а) 0,5 см; б) 8 см?

Решение. Воспользуемся теоремой 1. 36. Исходя из этой теоремы длина ломаной EFMO должна быть не меньше длины отрезка соединяющего ее концы (рис. 86). Длина ломаной EFMO равна 7 см, а значит, отрезок ЕО должен быть не больше 7 см.

Итак, отрезок ЕО может быть равен 0,5 см и не может быть равен 8 см.

29. Выпуклые многоугольники.

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

На рисунке 87 изображены различные многоугольники.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с вершинами, а значит, и с сторонами называется -угольником.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. На рисунке 88 изображены плоские многоугольники или многоугольные области.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 88, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 88, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Сумма углов выпуклого -угольника равна

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. На рисунке внутренний угол выпуклого многоугольника внешний.

Пример. Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 5, 7, 11.

Решение. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна Приняв за меньший из углов, составим уравнение: откуда Таким образом, углы пятиугольника равны 20°, 60°, 100% 140% 220°.

30. Правильные многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. На рисунке 90 изображены правильные многоугольники: треугольник, четырехугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

На рисунке 91 многоугольник ABCDE вписан в окружность, а многоугольник описан около окружности.

Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Радиус R окружности, описанной около правильного -угольника со стороной а, находится по формуле

Радиус окружности, вписанной в правильный -угольник со стороной с, находится по формуле

Для правильного равностороннего треугольника

Для правильного четырехугольника (квадрата) в

Для правильного шестиугольника

Пример. Вписать в данную окружность правильный восьмиугольник.

Решение. Два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Для построения правильного восьмиугольника необходимо каждую из этих частей разделить пополам, т. е. провести биссектрисы прямых углов, и полученные 8 точек окружности последовательно соединить отрезками. Получим вписанный в окружность восьмиугольник (рис. 92). Равенство сторон и равенство углов восьмиугольника следует из равенства всех восьми треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними (Т.1.15). Следовательно, полученный восьмиугольник правильный.

31. Длина окружности.

Из наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми сторонами. Имеет место такое свойство длины окружности:

Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.

Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой (читается «пи»): , где С — длина окружности, R — ее радиус. Число иррациональное,

Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле

На рисунке 93 изображена дуга А В окружности с центром О.

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в п°, находится по формуле

Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности следует, что т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на в частности, радианная мера угла 180° равна и, радианная мера прямого угла равна

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в одни радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна

Пример 1. Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой

Решение. Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у» Имеем:

Решая эту систему, получим .

Пример 2. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислить длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.

Решение. 1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна см.

2) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Поэтому а длина окружности равна .

1
Оглавление
email@scask.ru