191. Прямоугольные треугольники.

Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами, третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы). Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.

Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершину прямого угла треугольника.

Другая особенность прямоугольного треугольника состоит в том, что центр его описанной окружности лежит в середине гипотенузы. Действительно, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (рис. 230) и проведем его медиану ВМ из вершины прямого угла. Покажем, что длина этой медианы равна половине гипотенузы, т. е.

Рис. 230.

Рис. 231.

Тогда точка М будет одинаково удалена от всех вершин треугольника и потому будет центром описанной окружности. Для доказательства равенства достаточно обнаружить равенство углов МАВ и АВМ. Допустим противное, т. е. что углы эти неравны, например, . Тогда соответственно . По свойству «против большего угла лежит большая сторона» имеем в и в наоборот, и . В каждом из этих случаев приходим к противоречию: в то время как должно быть .

Итак, остается допустить, что , откуда что и требовалось доказать. Отсюда и следует, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы.

Отметим еще два специальных вида прямоугольных треугольников: равнобедренный и с углами в 30° и 60°. Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет равные углы при основании (гипотенузе), каждый из этих углов содержит 45°. Такой треугольник получается, если рассечь квадрат его диагональю. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Прямоугольный треугольник с углами 30° и 60° получится, если в равностороннем треугольнике провести одну из его высот и взять какой-либо из двух равных прямоугольных треугольников, на которые она разбивает данный равносторонний треугольник (рис. 231). Обратно, если взять прямоугольный треугольник с углами 60° и 30°, то, приложив к нему еще один такой же треугольник, имеющий с ним общий катет, прилежащий к углу в 30°, получим равносторонний треугольник. Из такого способа получения указанного треугольника видно, что в прямоугольном треугольнике с углами в 60° и 30° катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим 2 задачи на построение равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Задача 1. Построить равнобедренный треугольник по основанию и углу при вершине.

Решение. Зная угол при вершине, найдем смежный с ним угол; разделив его пополам, получим угол, равный углу при основании искомого треугольника, после чего он строится уже известным способом (по стороне и двум углам).

Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Решение. Построим отрезок АВ, равный данному катету, и в одном из концов его А восставим к нему перпендикуляр; на этом перпендикуляре будет лежать второй катет. Остается сделать на построенном перпендикуляре засечку с центром в вершине В и радиусом, равным данной гипотенузе.

Упражнения

1. Построить треугольникпо сторонам АВ, АС и высоте ВН.

2. Построить треугольник по стороне АВ, медиане ВМ и углу А. Сколько решений имеет задача?

3. Восстановить треугольник ABC, если на чертеже показаны две его вершины А и В и точка пересечения высот (или точка пересечения биссектрис).

4. Построить равнобедренный треугольник по основанию и по высоте .

5. Построить прямоугольный треугольник по катету и медиане, делящел его пополам.