§ 8. ПОДГРУППЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП. ГРУППЫ ПЕРЕСТАНОВОК

Некоторые множества перестановок из симметрической группы сами могут образовывать группу относительно умножения перестановок.

Определение. Подмножество Т множества называется подгруппой группы если оно образует группу относительно операции умножения перестановок.

В частности, само множество также является своей подгруппой, которую называют несобственной. С другой стороны, множество состоящее из одной тождественной перестановки , также является подгруппой группы как это следует из равенства

Подгруппа называется тривиальной подгруппой симметрической группы . Все подгруппы из отличные от называются собственными подгруппами. Следовательно, для собственной нетривиальной подгруппы G из выполнено неравенство

Для любой подгруппы из выполняются требования а) — г) из определения группы. Однако, проверяя будет ли данное подмножество из подгруппой, нет необходимости устанавливать для него истинность всех свойств а) — г). Имеет место следующая

Теорема. Непустое подмножество Т симметрической группы образует подгруппу тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) произведение любых двух перестановок из Т тоже содержится в Т (Т замкнуто относительно операции умножения перестановок);

2) если то (Т замкнуто относительно перехода к обратной перестановке).

Доказательство. Согласно определению, произвольная подгруппа Т группы замкнута относительно операции умножения перестановок и относительно перехода к обратной перестановке. Тем самым, условие теоремы является необходимым. Покажем, что оно и достаточно. Пусть для некоторого непустого множества Т перестановок из выполнены условия теоремы 1) и 2). Условие 1) означает, что для множества Т выполнено первое требование определения группы. Операция умножения перестановок из Т ассоциативна, поскольку умножение произвольных перестановок, а следовательно, и тех, которые принадлежат подчиняется ассоциативному закону. Итак, для множества Т и операции умножения перестановок выполнено второе требование определения группы. Далее, поскольку то существует по крайней мере одна перестановка а, принадлежащая Т. По условию 2) теоремы отсюда имеем, что обратная перестановка тоже принадлежит Т. Следовательно, по условию 1) перестановка а содержится в Т, т. е. выполнено третье из требований определения группы. Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из Т имеет обратный, который также принадлежит Т. Таким образом, Т является подгруппой симметрической группы .

Примеры. 1. Пусть Н — множество перестановок из симметрической группы

Проверим, является ли Н подгруппой группы Имеем . следовательно, для множества Н выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Кроме того,

(проверьте!).

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, т. е. для Н выполняется и условие 1) упомянутой теоремы. Из записанных нами равенств вытекает, что группа Н абелева.

2. Пусть G — множество перестановок

Тогда следовательно, выполняется условие 2) теоремы о подгруппах группы . Кроме того, выполняются равенства

(проверьте!). Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется и условие 1). Поэтому множество G является подгруппой группы причем из приведенных равенств вытекает, что группа G абелева.

3. Пусть Т — множество перестановок

Это множество не является подгруппой группы так как для негр не выполняется ни одно из условий 1), 2). Действительно,

Симметрическая группа имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа .

Ряд примеров мы приведем в следующем параграфе. Полностью описать все подгруппы группы удается лишь для небольших , а для больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Задача. Описать все подгруппы симметрической группы

Решение. 1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух элементов. Если Н — такая подгруппа, то в нее входит элемент и еще какой-то другой элемент а. Элемент, обратный к а, не может совпадать с , поэтому . Последнее равенство можно записать так: Следовательно, а — перестановка второго порядка, т. е. цикл длины 2. Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы . Это такие подмножества множества

Теперь, пользуясь сформулированной выше теоремой, легко убедиться, что подмножества А, В, С действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняются условия 1), 2) этой теоремы.

2) Опишем подгруппы, которые состоят из трех элементов. Если - такая подгруппа, то элементы должны иметь порядок 3. Действительно, если один из них, например а, имеет порядок 2, то и, поскольку каждый элемент имеет лишь один обратный, отсюда получаем, что и Но легко проверить непосредственно, что произведением любых двух элементов второго порядка является элемент, который имеет порядок 3. Следовательно, при таких предположениях произведение не принадлежит G и G не есть подгруппа.

Рассмотрим теперь случай, когда перестановки а и Р имеют порядок 3, т. е. . Имеем , т. е. подмножество G множества действительно является подгруппой группы . Легко убедиться - непосредственно, что подмножества множества состоящие из 4 или 5 элементов, подгрупп не образуют. Это непосредственно следует также из теоремы Лагранжа, которая будет рассмотрена в § 11.

Итак, симметрическая группа содержит шесть подгрупп, учитывая саму группу как свою несобственную подгруппу и тривиальную подгруппу

При решении многих задач подгруппы симметрической группы появляются и исследуются независимо, т. е. тот факт, что они являются подгруппами существенной роли не играет — сама объемлющая группа в рассмотрениях не участвует. В таких ситуациях подгруппы симметрической группы называются просто группами перестановок на множестве

Группы перестановок принято обозначать парами символов, одним из которых обозначается сама группа, а другим — множество, на котором действуют перестановки из этой группы. Для наиболее употребительных групп перестановок употребляются стандартные обозначения, некоторые из которых будут приведены ниже.

М Примеры. 4. Пусть — множество перестановок

Множество К образует группу относительно операции умножения перестановок. (Проверьте!) Поэтому можно говорить о группе перестановок . Она называется четверной группой Клейна.

5. Пусть Рассмотрим множество перестановок, состоящее из всевозможных степеней цикла . Согласно утверждениям § 6 в последовательности

все перестановки будут различными. Убедимся, что множество перестановок

образует группу относительно умножения перестановок. В самом деле, произведение перестановок определяется равенством

Следовательно, при любых произведение принадлежит Обратной к перестановке а будет перестановка поскольку Таким образом, для множества выполняются условия теоремы о подгруппах , т. е. оно образует группу относительно умножения подстановок. Группа перестановок называется циклической группой на символах и обозначается

6. Обобщим пример 5. Пусть — произвольная перестановка из имеющая порядок k. Тогда перестановки все различные, и множество образует группу относительно операции умножения перестановок.

Эта группа называется циклической группой, порожденной, перестановкой и обозначается (а). Можно говорить и о циклических подгруппах симметрической группы Циклической будет, например, подгруппа из примера 2; каждая подгруппа группы также циклическая. Однако подгруппа из примера 1 циклической не является.

Упражнения

1. Доказать следующее усиление теоремы о подгруппах позволяющее сокращать проверки:

Подмножество Т симметрической группы образует подгруппу тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно умножения, т. е. произведение любых двух элементов из Т снова принадлежит Т.

2. Описать все подгруппы состоящие из трех перестановок. Сколько их?

3. Сколько подгрупп второго порядка содержит группа

4. Подгруппа любой группы перестановок определяется так же, как и подгруппа Описать все подгруппы;

а) четверной группы Клейна; б) циклической группы циклической группы

5. Пусть Стабилизатором элемента тем называется множество всех перестановок а из таких, что Доказать, что стабилизатор любого элемента на М является подгруппой.

6. Пусть . Стабилизатором подмножества А называется множество всевозможных перестановок а из таких, что для произвольного элемента и перестановки имеем . Доказать, что стабилизатор любого подмножества из М образует подгруппу.

7. Говорят, что перестановки коммутируют, если Множество всевозможных элементов произвольной группы, которые коммутируют с каждым ее элементом, называется центром группы. Доказать, что центр любой группы перестановок является ее подгруппой.

8. Найти центр группы Каков центр циклических групп

9. Каких порядков могут быть циклические подгруппы в симметрической группе ?

10. Каков наивысший порядок циклических подгрупп симметрической группы