§ 1. СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ

Действие (или, иначе, операция) суперпозиции функций имеет ряд интересных свойств и много важных применений. Напомним определение и простейшие свойства суперпозиции для функций действительной переменной (функций, области определения и множества значений которых являются подмножествами множества действительных чисел).

Пусть — произвольные функции действительной переменной. Суперпозицией этих функций (именно в том порядке, в котором они записаны) называется такая функция , что:

а) область определения образована теми числами до из области определения функции для которых принадлежит области определения функции

б) значение функции в какой угодно точке из области ее определения связано со значениями равенством

Таким образом, чтобы найти значение функции в точке нужно найти а затем Число и есть значение функции в точке

Если функция и в точке принимает значение , то это будем изображать так:

Читается такая схема одним из следующих способов: «функция и в точке принимает значение «функция и точке ставит в соответствие точку «точка «о является образом точки под действием функции . Для суперпозиции функций такая схема будет иметь вид

(если функция ) точке ставит в соответствие точку а функция точке — точку , то функция точке ставит в соответствие точку

Пример. Пусть . Чтобы найти значение суперпозиции этих функций в некоторой точке нужно возвести в квадрат,

и найти значение в точке

Объединяя эти две схемы, получаем

Таким образом, функция каждой точке ставит в соответствие можно задать формулой

Рассмотрим теперь суперпозицию функций , т. е. суперпозицию тех же самых функций, но в обратном порядке. Получим

Это означает, что суперпозиция функций есть функция

Таким образом, суперпозиция функций зависит от порядка, в котором записаны функции.

Будем обозначать суперпозицию функций , т. е.

Следовательно,

Особую роль относительно операции суперпозиции играет функция которую будем обозначать Схема этой функции такая:

для каждого числа .

Очевидно, для любой функции выполняются равенства

или, в виде схемы,

Дадим отдельное обозначение и для функции , а именно

Мы будем рассматривать множества функций, имеющих следующее свойство:

Если функции принадлежат заданному множеству функций, то и суперпозиция этих функций также принадлежит этому множеству.

О таком множестве говорят, что оно замкнуто относительно операции суперпозиции функций, или, иначе, что суперпозиция является внутренней операцией для такого множества.

Найдем, например, суперпозицию двух линейных функций. Пусть Для произвольного числа имеем

т. е.

а следовательно, . Отсюда суперпозиция двух заданных линейных функций снова есть линейная функция.

Легко доказать, что это верно и в общем случае: если , то , т. е. снова функция линейная. При этом коэффициенты этой функции выражаются через коэффициенты помощью равенств

Следовательно, множество всех линейных функций вместе с каждыми двумя функциями содержит и их суперпозицию, т. е. суперпозиция является внутренней операцией для множества всех линейных функций.

Результат суперпозиции для линейных функций также зависит, вообще говоря, от порядкаих записи. Например, если , то есть функция , причем - это функция .

Следовательно, , т. е. для данных функций

Другим примером множества функций, замкнутого относительно суперпозиции, является множество всех многочленов вида

с целыми коэффициентами. Действительно, пусть

— два таких многочлена. Тогда суперпозицией , как легко убедиться, является такое выражение:

Это есть многочлен степени , который имеет вид

где коэффициенты выражаются определенным образом через коэффициенты

Общее правило для нахождения чисел по известным коэффициентам довольно громоздкое, но в каждом конкретном случае коэффициенты удается вычислить без особых трудностей. Например, пусть

Тогда

В рассмотренных примерах множества функций, замкнутые относительно суперпозиции, были бесконечны. Однако это условие не является необходимым для замкнутости. Для множества, которое состоит лишь из двух функций которые мы обозначили суперпозиция также будет внутренней операцией.

Действительно,

т. е. условие замкнутости выполняется.

Даже из приведенных примеров видно, что множества, для которых суперпозиция является внутренней операцией, могут быть очень разными. Далее мы рассмотрим строение таких множеств для функций, определенных на конечных множествах.

Упражнения

1. Найти суперпозиции где (-соответственно функции;

а)

б)

в)

г)

2. Будут ли замкнуты относительно суперпозиции такие множества функций:

а) множество всех функций вида , где а — произвольное действительное число;

б) множество всех функций вида а, где а — произвольное рациональное число;

в) множество функций каждая из которых рассматривается на множестве всех действительных чисел без нуля;

г) множество многочленов степени не выше 3-й;

д) множество функции