Упражнения

1. Доказать, что для всех 2 группа диэдра кеабелева.

2. Определить типы и порядки всех перестановок из групп диэдра

3. Системой образующих группы перестановок G называется такое множество Т ее элементов, что любую перестановку из G можно раз ложить в произведение перестановок из Г. Система образующих Т неприводима, если из нее нельзя выбросить ни одной перёстановки так, чтобы оставшееся множество было системой образующих группы . Проверьте, что вращение правильного -угольника на угол и любая из симметрий относительно прямых, сохраняющих n-угольник, являются неприводимой системой образующих группы его симметрий. Существует ли неприводимая система образующих группы состоящая из элементов порядка 2? Существуют ли неприводимые системы образующих состоящие из разного количества перестановок?

4. Описать группу симметрий звезды, изображенной на рис. 30. Каков порядок этой группы?

5. Отличаются ли группы симметрий фигур, изображенных на рис. 31?

Рис. 30

Рис. 31

6. Определить типы всех перестановок из группы симметрий тетраэдра, действующей на множестве его ребер.

7. Тетраэдр можно вписать в куб так, что ребра тетраэдра будут диагоналями граней куба. При этом любое вращение куба определяет некоторое вращение тетраэдра. Какие вращения куба определяют одинаковые вращения тетраэдра? Сколько их для каждого вращения тетраэдра?

8. Найти центр группы вращений тетраэдра.

9. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в группе вращений куба? в группе всех его симметрий?

10. Описать группу всех симметрий прямой призмы, в основе которой лежит правильный n-угольник. Выделить в ней подгруппу вращений. Совпадают ли эти группы?