§ 10. ТЕОРЕМА КЭЛИ

Из рассмотренных в предыдущих параграфах примеров видно, что симметрические группы весьма богаты подгруппами. Более того, любую конечную группу можно рассматривать как подгруппу подходящим образом выбранной симметрической группы. Это утверждение было установлено в середине прошлого столетия английским математиком А. Кзли и теперь называется его именем. Прежде чем точно сформулировать теорему Кэли, введем понятие изоморфизма групп — одного из основных понятий теории групп.

Изучать группы можно по-разному. Один из возможных и, по существу, главный подход состоит в том, что при изучении группы исследуются свойства групповой операции независимо от природы элементов группы. При других подходах к исследованию свойств групп опираются на определенные факты, касающиеся природы элементов группы. С точки зрения первого подхода может оказаться, что в группах с элементами различной природы групповая операция с точностью до обозначений одна и та же. Поясним сказанное на примере.

Пусть К — группа перестановок с групповой операцией умножением перестановок

введенная в § 8 в примере 4 (четверная группа Клейна), L — группа из упражнения 26) к § 4, т. е. группа функций

определенных на множестве действительных чисел без О с групповой операцией суперпозицией функций. Это совершенно разные группы, поскольку они состоят из разных объектов: в первом случае — перестановки, а во втором — функции действительного аргумента. Введем теперь согласованные обозначения для элементов этих групп следующим образом:

Согласно этой таблице, скажем, перестановка (2134) и функция обозначены одним и тем же символом а.

Если теперь составить таблицы умножения для групп К и L в новых обозначениях их элементов, то получим как в первом, так и во втором случае следующую таблицу (проверьте!):

Итак, элементы групп К и L можно «переназвать» так, что в «новых наименованиях» таблицы, умножения этих групп будут совпадав. Но таблица умножения полностью определяет групповую операцию. Таким образом, из сказанного видно, что если не обращать внимания на природу элементов групп К и групповые операции в этих группах можно не различать. Неразличимые в таком смысле группы принято называть изоморфными. Сформулируем теперь общее определение изоморфизма групп.

Определение. Группы называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, называемое изоморфизмом и обозначаемое стрелкой которое сохраняет групповую операцию, т. е. такое, что для произвольных элементов из условий следует, что

Если группы изоморфны, а элементы из и соответствующие им элементы из одинаково обозначить, то понятно, что таблицы умножения этих групп в таких обозначениях будут совпадать. Очевидно, что имеет место и обратное: если элементы групп можно так обозначить, что в этих обозначениях их таблицы умножения совпадают, то группы изоморфны.

Отношение изоморфизма групп имеет следующие свойства:

1) Нейтральному элементу еруппы соответствует нейтральный элемент группы

Действительно, пусть элементу при изоморфизме соответствует некоторый элемент а из Тогда элементу соответствует, согласно основному свойству изоморфизма, элемент Однако Поскольку изоморфизм — взаимно однозначное соответствие, отсюда получаем, что .

Умножая правую и левую части этого равенства на элемент (например, слева), получим

2) Для произвольного элемента соответствие влечет за собой

В самом деле, пусть элементу соответствует при изоморфизме некоторый элемент Тогда произведению будет соответствовать произведение Но и по первому свойству изоморфизма отсюда получаем, что Следовательно,

3) Понятно, что любая группа изоморфна сама себе и отношение изоморфизма симметрично (если группа изоморфна группе то и наоборот — группа изоморфна группе ).

4) Изоморфные группы состоят из одинакового числа элементов.

Изоморфизм между данными двумя группами не обязательно определяется единственным образом. Например, легко проверяется, что любое взаимно однозначное соответствие между элементами рассматриваемых выше групп К и L, при котором нейтральные элементы этих групп соответствуют друг другу, будет изоморфизмом. Существует 6 взаимно однозначных соответствий между подмножествами элементов групп К и L, отличных от нейтральных, т. е. изоморфизм между группами К и L можно установить шестью различными способами.

Теперь мы можем строго сформулировать и доказать основное утверждение этого параграфа.

Теорема Кэли. Любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок на множестве своих элементов.

Доказательство. Пусть — некоторый элемент из этой группы, т. для какого-то . По элементу g определим преобразование g множества G, задавая его таблицей значений

Поскольку множество G замкнуто относительно умножения, все элементы вида принадлежат G, т. e. эта таблица действительно определяет преобразование над множеством G. Более того, все элементы ряда

различны, поскольку из равенства получаем, умножая его правую и левую части справа на элемент

Поскольку , то . Таким образом, преобразование g является перестановкой множества G.

Пусть — множество всех перестановок вида g, построенных по элементам группы G. Установим соответствие между элементами группы G и перестановками из по правилу

Понятно, что различным элементам из G соответствуют различные перестановки из , поскольку они по-разному действуют на нейтральный элемент группы G. Итак, это соответствие взаимно однозначное. Проверим, что оно сохраняет групповую операцию, т. е. для любых элементов из G выполняется условие Иными словами, это означает, что для любых элементов из G имеет место равенство Перестановка согласно определению задается таблицей

т. e. под ее действием произвольный элемент переходит в элемент . Произведение перестановок на любой элемент действует так:

В силу ассоциативности умножения в группе G получаем, что для любого выполняется равенство

А это и означает, что для перестановок на множестве G выполнено равенство Теорема доказана.

Отметим, что при доказательстве мы не проверяли отдельно замкнутость множества относительно умножения перестановок — это автоматически следует из того, что — изоморфный образ группы G.

Группу подстановок принято называть правым регулярным представлением группы G. Аналогично можно строить левое регулярное представление, при котором произвольному элементу g из G взаимно однозначно соответствует перестановка

(g умножается последовательно слева на все элементы группы G). Левое регулярное представление группы G ей не изоморфно, поскольку произведению элементов из G соответствует перестановка , т. е. множители переставляются. Такие группы называются антиизоморфными.

Упражнения

1. Доказать, что из условий или следует, что группы — изоморфны.

2. Любая группа, состоящая из четырех элементов, изоморфна либо четверной группе Клейна либо циклической группе четвертого порядка. Доказать это.

3. Доказать, что группа подстановок на множестве состоящая из подстановок

изоморфна симметрической группе

4. Группа перестановок называется регулярной, если для произвольных двух элементов из множества М существует в точности одна перестановка а из группы G, такая, что Чему равен стабилизатор произвольного элемента из М (см. задачу 5 из.§ 8) в группе

5. Проверить, что правое регулярное представление произвольной группы является регулярной группой перестановок.

6. Построить правое регулярное представление следующих групп:

а) группы симметрий правильного треугольника;

б) группы функций определенных на множестве действительных чисел кроме нуля.

7. Если группы изоморфны и группы тоже изоморфны, то изоморфными будут также группы Доказать это.