§ 11. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Пусть — группы перестановок, причем , т. е. как принято говорить, Н является подгруппой группы G. Одной из первых теорем теории групп является теорема, устанавливающая связь между порядками групп G и Н, доказанная в несколько иных терминах Лагранжем еще в конце XVIII столетия.

Эта простая по идее доказательства теорема очень часто применяется как в самой теории групп, так и во всех приложениях, одно из которых мы рассмотрим ниже.

Теорема Лагранжа. Если Н — подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка

Доказательство. Пусть — все перестановки, содержащиеся в группе — все перестановки из Н (т. е. ). Если то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что собственная подгруппа G). В силу этого предположения существует перестановка такая, что . Рассмотрим ряд перестановок

Все перестановки этого ряда различны: если бы для каких-то имело место равенство , то, умножив его правую и левую части на мы получили бы равенство . Кроме того, ни одна из них не содержится в подгруппе если бы для какого-то номера i имело место включение то это означало бы, что для какого-то Из этого равенства имеем , а так как - группа перестановок, то что противоречит выбору этой перестановки.

Если перестановками группы Н и ряда (1) исчерпаны все перестановки из G, то и все доказано. В противном случае найдется такая перестановка что не содержится в ряде (1). Определим для нее ряд перестановок

Аналогично проверяется, что а) все перестановки ряда (2) различны; б) они не содержатся в Н; в) ни одна из них не встречается среди перестановок ряда (1).

Если перестановками из подгруппы Н и рядов (1) и (2) исчерпываются все элементы группы G, то доказано. В противном случае продолжаем процесс выбора перестановок у и построения рядов вида (1) и (2) дальше. Так как группа G конечная, то на каком-то, например на шаге все перестановки из G будут исчерпаны.

Иными словами, все их можно расположить таким образом:

при этом все перестановки в каждой из строк различны и любые 2 строки не имеют общих элементов. Поскольку общее число элементов в (3) равно (порядок группы G), а число элементов в каждой строке равно (порядок группы Н), то имеем равенство , т. е. является делителем и теорема доказана.

Число k называют индексом подгруппы Н в группе G и обозначают . Из доказательства теоремы Лагранжа мы получаем, что имеет место равенство

Так как порядок циклической подгруппы, порожденной перестановкой совпадает с порядком перестановки а, то из теоремы Лагранжа получаем, что порядок любой перестановки из G — делитель

Теорема Лагранжа позволяет также существенно упростить решение задачи описания всех подрупп данной, группы. Например, если порядок группы G есть простое число, то в G нет нетривиальных собственных подгрупп (согласно теореме Лагранжа).

Собственные подгруппы из могут состоять из двух и трех перестановок (делители числа поэтому непосредственную проверку, о которой идет речь в задаче из § 8, можно опустить. А ведь эта проверка длинная, так как есть подмножество из состоящее из 4 или 5 элементов. Даже на этих двух примерах видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

Упражнения

1. Множества перестановок, стоящие в рядах таблицы (3), называются правыми (так как умножается справа) классами смежности, а таблицу (3) естественно назвать таблицей разложения группы G на правые классы смежности по подгруппе Н. Вполне аналогично можно построить таблицу разложения группы G на левые классы смежности по подгруппе Построить таблицы разложения группы 5 на класеы смежности как правые, так и левые по подгруппе по подгруппе

2. Доказать, что вращения правильного шестиугольника вокруг центра на углы, кратные образуют подгруппу в группе всех его симметрий. Составить таблицы разложения на правые и левые классы смежности группы симметрий шестиугольника по подгруппе всех вращений. Обобщить это на случай произвольного -угольника.

3. Если Н — подгруппа индекса 2 в группе G, то правые и левые классы смежности по этой подгруппе совпадают. Докажите.

4. Пусть — решение — натуральные) уравнения

( — произвольное натуральное). Тогда является делителем Докажите.

5. Выпишите все числа, которые, согласно теореме Лагранжа, могут быть порядками элементов в группе Существуют ли в группе перестановки таких порядков?

6. Тот же вопрос для группы