1. Отображение на все множество.

Отображение называется отображением на все множество В или сюръекцией, если для каждого элемента ЬВ найдется такой элемент что .

Примеры. 3. Пусть есть соответственно множество всех действительных и множество всех положительных действительных чисел. Зададим отображение положив для каждого Отображение будет сюръекцией, потому что для каждого числа существует по меньшей мере одно число такое, что Достаточно положить . Даже больше, для каждого существует точно два прообраза:

4. Пусть — множество всех прямоугольных треугольников на плоскости, Определим отображение так: поставим в соответствие каждому прямоугольному треугольнику из Т число, которое является его площадью при фиксированной единице измерения; есть сюръекция, так как для произвольного существует прямоугольный треугольник (с катетами ), который имеет площадь

Существует даже бесконечно много прямоугольных треугольников, которые имеют площадь (например, треугольники с катетами ). Следовательно, тут каждый элемент имеет бесконечно много про образов.

5. Пусть S — множество трехзначных простых чисел, a L — множество цифр. Отображение определим так: поставим в соответствие каждому трехзначному простому числу его вторую цифру. Например:

Непосредственной проверкой убеждаемся, что — сюръекция, т. е. для каждой цифры найдется трехзначное простое число, в котором эта цифра стоит посередине. Тут множества S и L конечны, и для. каждого элемента из L существует лишь конечное число элементов из S, которые на него отображаются.

Если множества А и В конечны и — сюръекция, то в нижнем ряду ее таблицы встречаются все элементы из В. На каждой горизонтальной прямой графика сюръекции обязательно есть обозначенные вершины сетки. На стрелочной схеме сюръекции в каждую точку, которая обозначает элемент множества В, входит по меньшей мере одна стрелка.

Сюръекция конечного множества А на множество В существует не всегда. Очевидно, для этого необходимо, чтобы множество В также было конечно и выполнялось неравенство