§ 14. ДЕЙСТВИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ НА МНОГОЧЛЕН

Напомним, что многочлен — это сумма каких-то одночленов. Если все одночлены многочлена образованы из символов , то будем обозначать такой многочлен и говорить, что это многочлен с переменными. Например,

— многочлен с двумя переменными, а

— многочлен с тремя переменными.

Пусть — некоторый многочлен с переменными, — множество индексов при переменных. Для произвольной перестановки а определим действие о на многочлен положив

Пример 1. а) Если

то

б) Для многочлена

и перестановки о из предыдущего примера имеем

Из этого примера видно, что многочлен может отличаться от а может и совпадать с ним.

Если то говорят, что многочлен f не изменяется под действием перестановки или, иначе, инвариантен относительно действия а. Понятно, что каждый многочлен от переменных инвариантен относительно действия тождественной перестановки:

Поскольку операция умножения двух перестановок означает их последовательное выполнение, то для любых перестановок и произвольного многочлена имеем

Отсюда вытекает, что когда многочлен не изменяется под действием перестановок , то он будет инвариантен и относительно их произведения. Кроме того, каждый многочлен инвариантный относительно перестановки а, будет инвариантным и относительно перестановки

Поэтому множество всех перестановок, которые не меняют заданный многочлен образует группу. Эта группа называется группой инерции многочлена

Пример 2. Найдем группу инерции многочлена

Имеем

Следовательно, группой инерции многочлена является множество

Из этого примера видно, что многочлен меняет знак под действием любой транспозиции. Этот результат обобщается на многочлены такого вида с большим числом переменных.

Многочлен является произведением разностей для ; поэтому многочлен такого вида с переменными будет такой:

Он содержит сомножителей. Пусть — произвольная транспозиция. Она действует лишь на те сомножители в которых по меньшей мере один из индексов k, I совпадает с i или Под действием транспозиции знак сомножителя меняется на противоположный:

Для других сомножителей, которые изменяются под действием транспозиции имеем

а) если то переходит в и наоборот, не меняя знака;

б) если то переходит в наоборот, не меняя знака;

в) если то переходит в переходит в т. е. произведение под действием не изменяет знака.

Следовательно, произведение всех сомножителей многочлена кроме под действием не изменяет знака, а сомножитель изменяет знак противоположный. Поэтому произведение всех сомножителей — многочлен также изменяет знак:

Поскольку каждую перестановку можно разложить в произведение транспозиций, то под действием любой перестановки многочлен может лишь изменить знак. Именно поэтому этот многочлен называется знакопеременным многочленом с переменными.

Пусть — некоторый многочлен. Действуя на него всевозможными перестановками из получим, вообще говоря, какой-то набор разных многочленов:

Сам многочлен в этом ряду обязательно встретится, так как . Многочлен

будем называть орбитальным для Орбитальный многочлен, как легко понять, инвариантен относительно любой перестановки из

Пример 3. а) Для одночлена орбитальным многочленом с переменными будет многочлен

Такие многочлены называется степенными суммами от переменных. В частности, степенными суммами с двумя переменными будут многочлены

б) Для одночлена орбитальным многочленом с тремя переменными будет многочлен

Орбитальный многочлен с переменными для одночлена будем обозначать

Например,

Легко убедиться, что для любого многочлен выражается через степенные суммы. Проверим это для случая Имеем

Следовательно,

Интересным является вопрос о нахождении количества слагаемых в орбитальных многочленах. Понятно, что количество одночленов в многочленах не может превышать Максимальное количество одночленов будем иметь только тогда, когда все переменные будут входить в одночлен с разными степенями, а если показатели переменных в одночлене будут повторяться, то оно будет меньше.

Упражнения

1. Пусть из многочленов;

Найти

2. Найти группу инерции многочлена

3. Из какого числа перестановок состоит группа инерции многочлена

4. Для произвольной группы перестановок существует многочлен, для которого эта группа является группой инерции. Доказать это.

5. Сколько одночленов содержит многочлен Записать этот многочлен.

6. Доказать, что многочлен выражается через степенные суммы для любого .

7. Сколько одночленов содержит многочлен вида для разных