7. Группа симметрий октаэдра.

Октаэдр — один из пяти правильных многогранников (кроме тетраэдра и куба, к ним относятся еще икосаэдр и додекаэдр). Его можно получить, соединяя центры граней куба и рассматривая тело, ограниченное плоскостями, которые определяются соединительными прямыми для соседних граней (рис. 29). Поэтому любая симметрия куба одновременно является симметрией октаэдра и наоборот. Таким образом, группа симметрий октаэдра такая же, как и группа симметрий куба, и состоит из 48 преобразований.

В каждом из рассмотренных в пп. 5—7 примеров имеет место следующая закономерность. Группа симметрий правильного многогранника состоит из 21 преобразований, где — число его плоских углов. Это утверждение имеет место для всех правильных многогранников, его можно доказать в общем виде, не находя всех симметрий многогранников, как это было нами сделано.