§ 16. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЧЕТНОСИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Многочлен называется симметрическим, если он является инвариантным относительно действия любой перестановки из т. е. группой инерции такого многочлена является вся симметрическая группа

Например, симметрическими будут такие многочлены с переменными:

Действительно, орбитальный многочлен любого одночлена — симметрический, а

Многочлены называются элементарными симметрическими многочленами. Запишем их полностью для :

Непосредственно видно, что а) сумма симметрических многочленов — симметрический многочлен; б) произведение симметрических многочленов — симметрический многочлен. Поэтому если в произвольный многочлен с переменными подставить вместо элементарные симметрические многочлены , то получим некоторый многочлен от , который будет симметрическим. Например, если

то

— симметрический многочлен.

Оказывается, что так можно получить каждый симметрический многочлен.

Теорема. Каждый симметрический многочлен является многочленом от элементарных симметрических многочленов.

Эта теорема называется основной теоремой о симметрических многочленах. Мы докажем эту теорему лишь для многочленов с тремя неизвестными. Рассмотрение этого случая даст нам возможность обозреть все этапы полного доказательства.

Понятно, что каждый симметрический многочлен с произвольным числом переменных является суммой орбитальных многочленов. А потому для доказательства теоремы в случае достаточно убедиться, что многочлены вида можно представить в виде многочленов от

1) Убедимся методом математической индукции по числу к, что каждая степенная сумма выражается через элементарные симметрические многочлены.

Действительно, совпадает с . Выразим теперь для произвольного k через многочлены . Имеем

Отсюда

Аналогично,

Определяя из двух последних равенств многочлен и подставляя его в предыдущее, будем иметь

В соответствии с предположением индукции степенные суммы можно записать в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов, следовательно, через них можно выразить и сумму

2) В § 13 было установлено, что любой орбитальный многочлен вида выражается через степенные суммы. По только что доказанному, можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

3) Пусть — некоторый орбитальный многочлен, и пусть, например, число — наименьшее из чисел . Тогда имеем

— орбита одночлена с меньшим числом переменных, т. е. этот случай сводится к предыдущим.

Основная теорема о симметрических многочленах для доказана. Для доказательство будет вполне аналогично, но значительно проще. Предлагаем читателю провести его самостоятельно.

Рассмотрим несколько примеров применения основной теоремы о симметрических многочленах.

1. Решить систему

Выразим симметрические многочлены в левых частях обоих уравнений через и введем новые неизвестные

Получим вспомогательную систему

Она имеет два решения:

Значит, множество решений исходной системы (1) равно объединению множества решений следующих двух систем:

Множество решений первой из них пусто, а множество решений второй . Следовательно, множество решений исходной системы (1) есть

2. Доказать, что при справедливо тождество

Выразим симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены Как было уже установлено при доказательстве теоремы о симметрических многочленах, многочленом от который совпадает с суммой является Поэтому получим

Поскольку по условию , то также равняется 0, откуда и вытекает правильность доказываемого тождества.

3. Составить квадратное уравнение с корнями если

Такое уравнение можно составить, использовав теорему Виета. Для этого нужно найти, чему равняется произведение корней. Выражая через элементарные симметрические многочлены, получим . Если в это равенство подставить вместо их значения, то будем иметь квадратное уравнение для

Отсюда . Следовательно, искомыми уравнениями будут

Наряду с симметрическими многочленами часто приходится иметь дело с четносимметрическими многочленами. Четносимметрическими называются многочлены, инвариантные относительно всех четных перестановок. Следовательно, группа инерции четносимметрического многочлена будет содержать знакопеременную группу. Поскольку в симметрической группе четной будет лишь тождественная перестановка, то каждый многочлен с двумя неизвестными четносимметрический, т. е. в этом случае понятие четносимметричности излишне. Однако уже среди многочленов с тремя неизвестными есть нечетносимметрические, например (группа инерции этого многочлена единичная).

Понятно, что каждый симметрический многочлен четносимметрический, но не наоборот. Например, знакопеременный многочлен четносимметрический для любого , но не симметрический. Четносимметрическим будет, в частности, каждый многочлен, который под действием произвольной транспозиции меняет знак. Многочлены с таким свойством называются антисимметрическими. Как было установлено в § 13, многочлен антисимметрический. Вполне понятно также, что произведение симметрического многочлена на произвольный антисимметрический многочлен снова антисимметрический многочлен. В частности, антисимметрическими будут многочлены вида

где — любой симметрический многочлен. Можно доказать, что каждый антисимметрический многочлен записывается в виде такого произведения (см. упражнение 7). Ясно, что произведение двух антисимметрических многочленов — многочлен симметрический.

Лемма. Действуя на произвольный четносимметрический многочлен нечетными перестановками, будем получать один и тот же многочлен, т. е.

для любых нечетных перестановок .

Действительно, в этом случае — четные перестановки и, следовательно,

Действуя на обе части этого равенства перестановкой , получим

Поскольку для любых перестановок , то

Используя ассоциативность умножения перестановок, получим

В силу определения обратной перестановки имеем .

Теорема. Каждый четносимметрический многочлен может быть представлен, притом единственным образом, в виде суммы симметрического и антисимметрического многочленов.

Доказательство. Единственность. Пусть заданный четносимметрический многочлен представлен в виде

где g — некоторый симметрический, — антисимметрический многочлены. Подействуем на обе части этого равенства какой-нибудь нечетной перестановкой а:

Однако, в силу предположений о g и

Складывали вычитая почленно равенства (I) и (2), получим

Отметим, что в силу ранее доказанной леммы правые части равенств (3) не изменятся, если вместо а взять какую-нибудь другую нечетную перестановку .

Проведенные рассуждения доказывают, что если разложение (1) возможно, то обязательно для g и справедливы формулы (3), т. е. g и если существуют, то определены однозначно.

Существование. Для доказательства существования разложения (1) необходимо проверить, что:

1) где а — некоторая (безразлично какая) нечетная перестановка;

2) - симметрический многочлен;

3) - антисимметрический многочлен.

Но 1) очевидно, а для доказательства 2) и 3) достаточно заметить следующее. Если Р — четная перестановка, то в силу леммы, так как — нечетная перестановка. Поэтому . Если же Р — нечетная перестановка, в силу леммы, а так как будет четной перестановкой. Поэтому

Теорема доказана. В частности, любой многочлен с двумя неизвестными является суммой симметрического и антисимметрического многочленов.

Упражнения

1. Выразить через элементарные симметрические многочлены:

2. Решить системы уравнений:

3. Найти площадь треугольника, зная его периметр, сумму квадратов длин его сторон и сумму кубов длин его сторон.

4. Если некоторый многочлен обращается в нуль при подстановке вместо вместо то он тождественно равен нулю. Доказать это.

5. Теорема единственности: для произвольного симметрического многочлена существует только один многочлен такой, что Доказать это утверждение, используя упражнение 4.

6. Если — антисимметрический многочлен, то Доказать это. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для многочленов с тремя переменными.

7. Используя предыдущее упражнение доказать, что произвольный антисимметрический многочлен с двумя переменными имеет вид где - симметрический многочлен.

8. Функция от переменных называется симметрической, если она не изменяет значений при произвольной перестановке аргументов, т. е. для любой перестановки имеем Докажите, что функция симметрическая.