§ 17. О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида

где старший коэффициент

Простейшие виды алгебраических уравнений — уравнения 1-й и 2-й степени и даже некоторые специальные виды уравнений 3-й степени — математики могли решать еще в древнем Вавилоне примерно 4000 лет тому назад. Правда, в те далекие времена ученые еще не знали современной математической символики и записывали и само уравнение и процесс его решения словами, а не формулами

2. Произвольное уравнение первой степени

всегда имеет, и притом единственное, решение

В школьном курсе алгебры доказывается следующая теорема о решении произвольного квадратного уравнения

Если число то уравнение имеет ровно два корня, которые даются формулой

Если , то корень только один:

Если же , то корней среди действительных чисел нет.

Математики всегда стараются избежать подобного разделения случаев — их число только увеличилось бы при переходе к уравнениям более высокой степени. Желательна была бы, конечно, формулйровка: «Уравнение второй степени имеет два корня». Ее можно достичь, если, с одной стороны, так расширить понятие числа, что было бы возможным извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а с другой — считать некоторые корни «несколько раз» (ввести понятие кратного корня).

И то и другое можно аккуратно сделать.

3. Общее уравнение третьей степени имеет вид

Разделив обе части этого уравнения на старший коэффициент А — решения от этого, очевидно, не меняются — приходим к уравнению вида

Введением новой неизвестной величины можно избавиться от слагаемого, содержащего неизвестную во второй степени, т. е. привести уравнение к виду

называемому редуцированным уравнением третьей степени.

Сведения об истории открытия формулы корней кубического уравнения неполны и противоречивы. По-видимому, первым (около 1515 г.) нашел метод решения кубических уравнений профессор университета в Болонье С. Ферро (1465—1526). Независимо от него (около 1535 г.) этот метод открыл Н. Тарталья (1500—1557). Однако первым опубликовал формулу корней кубического уравнения Дж. Кардано (1501—1576) (его работа вышла в 1545 г.), и поэтому эта формула носит его имя. Отметим, что, возможно, Кардано был знаком с работами Тартальи и Ферро.

В современных обозначениях метод решения уравнения (1) состоит в следующем.

Введем две новые неизвестные ; положив имеем

Если неизвестные удовлетворяют системе

то они также удовлетворяют уравнению (2). Решить систему (3) очень просто. Возведем первое уравнение в куб и подставим вместо его выражение из второго уравнения; получим, что удовлетворяет квадратному уравнению

Следовательно,

и, наконец,

Это и есть формула Кардано для решения редуцирован ного кубического уравнения (1).

Сразу возникают вопросы:

1) Что делать, если выражение

2) Сколько корней имеет кубическое уравнение?

3) Дает ли формула Кардано (4) все решения уравнения (1)?

Вопросы эти взаимосвязаны. Легко, например, убедиться, что уравнение

имеет решения —5, 2, 3, а как раз в этом случае

так что квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл и три указанных корня этой формулой не выражаются.

Все говорит о том, что здесь еще больше, чем в случае квадратных уравнений, нельзя обойтись без бведения каких-то «новых чисел», для которых извлечение квадратного корня всегда возможно. Такие числа были постепенно введены на протяжении XVI—XIX вв. Они называются комплексными числами. В комплексных числах любое алгебраическое уравнение степени имеет ровно корней

Рассмотрим в качестве примера уравнение

Оно играет важную роль в теории и понадобится нам в дальнейшем.

В поле комплексных чисел это уравнение имеет различных решений, которые называются корнями степени из единицы:

Для записи решений кубического уравнения нужны корни 3-й степени из 1. В соответствии с формулами (6) это будут следующие комплексные числа:

Можно показать, что три корня редуцированного кубического уравнения есть

Здесь буквой обозначен — корень 3-й степени из как нетрудно видеть, равно Это и есть окончательные формулы Кардано.

4. В случае уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени нам известны формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения при помощи рациональных операций операции извлечения квадратного корня (в случае квадратного уравнения), операций извлечения квадратного и кубического корней (в случае кубического уравнения). Подобные же правила были указаны и для уравнений 4-й степени учеником Дж. Кардано итальянским алгебраистом Л. Феррари (1522—1565). В них также участвуют лишь рациональные операции и операции Все попытки на протяжении почти трех веков (XVI—XVIII) найти подобные правила для уравнений 5-й и более высоких степеней при помощи рациональных операций и операций не увенчались успехом.

Постепенно стали подозревать, что, возможно, вообще нельзя выразить корни уравнения степени для через коэффициенты лишь при помощи операций и у для произвольных натуральных , т. е. что нельзя свести решение таких уравнений рациональными операциями к последовательному решению уравнений специального вида . Корни уравнений , т. е. то, что обычно обозначают через , принято называть радикалами, и поэтому задачу о возможности сведения нахождения корней произвольного уравнения к нахождению уравнений вида принято называть задачей о выражении корней уравнения радикалами.

Попытки доказать или опровергнуть эту гипотезу особенно участились во второй половине XVIII столетия и привели в начале XIX столетия к доказательству невозможности решения общего уравнения 5-й и более высоких степеней в радикалах.

Среди работ XVIII столетия в отмеченном направлении ясностью мысли выделяется мемуар знаменитого французского математика Ж. Л. Лагранжа (1736—1813), озаглавленный «Рассуждения об алгебраическом решении уравнений» (1771—1772). В нем автор подробно и внимательно проанализировал известные методы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах, чтобы выяснить, как и почему в этих случаях такое решение удается. При этом он отметил следующее обстоятельство: во всех указанных случаях имеются некоторые функции от корней, которые удовлетворяют уравнениям более низкой степени и про которые уже известно, что они решаются в радикалах. Корни исходного уравнения, в свою очередь, могут быть найдены из этих промежуточных функций опять таки из уравнений, решаемых в радикалах.

Далее, Лагранж исследует вопрос, каким образом находятся подобные функции от корней в известных случаях. Оказалось, что это полиномы от корней которые при всевозможных перестановках корней — а их число, как известно, равно — принимают не а меньшее число значений, и даже меньшее, чем — степень исследуемого уравнения). Это произойдет тогда, когда не меняется при некоторых перестановках корней.

Вот каким образом перестановки появились в вопросе о решении уравнения в радикалах!

Если функция от корней принимает только k различных значений то коэффициенты многочлена

по одной известной уже давно, теореме — это так называемая основная теорема о симметрических функциях — должны рационально выражаться через коэффициенты исследуемого уравнения

4 Примеры. 1. Пусть — знакопеременная функция

от корней уравнения степени. Она принимает при всевозможных перестановках корней лишь два значения в зависимости от того, будет ли перестановка четной или нечетной. Следовательно, дискриминант уравнения не меняется при всевозможных перестановках и выражается рационально через коэффициенты исследуемого уравнения. Для квадратного уравнения

для редуцированного кубического уравнения

Знакопеременная функция от корней удовлетворяет уравнениям

соответственно. Мы узнаем выражения под квадратным корнем в формуле для решения квадратного уравнения и с точностью до постоянного множителя в формуле Кардано.

2. Другой пример появился в упоминавшейся выше работе Лагранжа. Это так называемые резольвенты Лагранжа. Мы их рассмотрим, как и сам Лагранж, для случая уравнения 3-й степени. При помощи кубических корней из 1

они определяются следующим образом:

Здесь корни исследуемого кубического уравнения. Обратим внимание на вторую и третью резольвенты. Как нетрудно видеть, при циклической перестановке корней они лишь умножаются на соответственно. Следовательно, выдерживают циклические перестановки и поэтому выражаются рационально через коэффициенты уравнения и через А. Соответствующие представления можно подсчитать. Извлечением кубического корня можно получить . По теореме Виета — это коэффициент при с обратным знаком, т. е. в случае редуцированного кубического уравнения . Зная из системы линейных уравнений (7), можно получить Если осуществить указанные вычисления, то можно убедиться, что вычисляются по формулам Кардано.

Аналогично, только технически более сложно, можно получить решение в радикалах уравнения 4-й степени. Что же касается уравнения 5-й степени, то аналогичное сведение к уравнениям низших степеней получить не удалось. Однако Лагранж не исключал его возможности.

Что такое понижение принципиально неосуществимо, показал в 1799 г. в работе «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени» итальянский математик П. Руффини (1765—1822). Однако в его доказательстве содержались пробелы, которые, ему не удалось устранить. Аккуратное доказательство было дано лишь в 1826 г. в работе норвежского математика Н. Г. Абеля (1802—1829) «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую».

Глубокую причину несуществования функций от корней, удовлетворяющих уравнениям более низкой степени, чем рассматриваемое (исключение составляет всегда знакопеременная функция, удовлетворяющая квадратному уравнению) вскрыл гениальный французский математик Эварист Галуа (1811—1832). Галуа сопоставил каждому уравнению группу тех перестановок его корней, которые не меняют значения всех полиномов от корней с коэффициентами, зависящими рационально от коэффициентов заданного уравнения. Эту группу называют теперь группой Галуа рассматриваемого уравнения.

Понятие группы Галуа уравнения можно ввести следующим образом. Пусть — алгебраическое уравнение некоторой степени (левая часть этого уравнения) — полином степени .

Коэффициенты полинома — числа должны принадлежать одновременно какому-либо числовому полю — непустому множеству чисел, замкнутому относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от 0. Числовым полем является, например, множество Q всех рациональных чисел. Поскольку необходимые понятия вводятся для всех числовых полей единообразно, достаточно рассмотреть лишь одно из них. Поэтому мы будем считать, что коэффициенты многочлена — рациональные числа. Кроме того, можно предполагать (это доказывается в курсах алгебры), что Все корни многочлена — различны, т. е. уравнение имеет различных, вообще говоря, комплексных корней

Рациональным отношением между корнями называется всякое равенство вида

где — знак суммирования, сумма, стоящая в левой части этого равенства, берется по каким-то наборам показателей , а все коэффициенты — рациональные числа. Иными словами, в левой части рационального отношения (8) стоит некоторый многочлен от с рациональными коэффициентами. Множество всех рациональных отношений между корнями уравнения зависит только от многочлена . Понятно, что почленная сумма и почленное произведение рациональных отношений между корнями некоторого многочлена тоже будут рациональными отношениями между его корнями. Поскольку пример ненулевого рационального отношения легко указать для любого уравнения , отсюда получаем, что произвольному уравнению соответствует бесконечное множество рациональных отношений между его корнями.

Пусть теперь

— некоторая перестановка на множестве корней уравнения . Подействуем этой перестановкой на левую часть выражения (8). Каждый одночлен под действием перестановки преобразуется в одночлен (коэффициенты при всех одночленах остаются неизменными).

Левая часть соотношения (8) преобразуется в следующее выражение:

Это число может оказаться отличным от нуля. Все перестановки из симметрической группы на множестве корней уравнения можно разделить на две части — те, что сохраняют рациональное отношение (8), и те, что нарушают его. Если перестановки сохраняют рациональное отношение (8), то очевидно, что их произведение и обратная перестановка к каждой из них также будут преобразовывать это равенство в верхнее соотношение. такого же вида. Иными словами, множество всевозможных перестановок, сохраняющих соотношение (8) (поскольку оно не пустое!), образует группу. Эта группа и называется группой Галуа уравнения

По свойствам этой группы Галуа можно определить, будет ли данное уравнение разрешимо в радикалах или нет. Полученный признак содержит в виде частых случаев все ранее известные сведения о разрешимости или неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

Но не исключается, что некоторые уравнения с числовыми коэффициентами разрешимы в радикалах. Возможно это или нет, устанавливается опять-таки на основании признака, найденного Галуа.

Исследование свойств групп Галуа выходит за рамки нашего изложения. Отметим только, что если группа Галуа данного уравнения является абелевой, то уравнение разрешимо в радикалах. Разрешимыми в радикалах будут уравнения, группа Галуа которых является одной из групп диэдра, группой симметрий тетраэдра и куба. Это примеры так называемых разрешимых групп, т. е. групп Галуа уравнений, разрешимых в радикалах. Наиболее «маленьким» примером неразрешимой группы является знакопеременная группа состоящая из 60 перестановок; неразрешимой является также и содержащая ее группа Можно сказать, что в неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах «виновны» именно эти группы: среди уравнений 5-й степени имеются такие, группа Галуа которых совпадает с или Примером такого уравнения является

Поскольку группа Галуа уравнения является столь важной его характеристикой, возникает вопрос, как же строить эту группу по уравнению? Оказывается, что нет необходимости проверять, выдерживают ли все рациональные отношения от корней уравнения данную перестановку его корней. Достаточно ограничиться такой проверкой для конечной и вполне обозримой части этих отношений. С доказательством последнего и других упомянутых здесь утверждений можно познакомиться по одной из книг, посвященных изложению теории Галуа и указанных в списке литературы.

Упражнения

1. Используя дискриминант D кубического уравнения, невозможно установить, все корни этого уравнения совпадают, - или же совпадают лишь два из них. Приведите пример выражения; составленного из корней данного уравнения, которое позволяло бы это делать.

2. Доказать, что если а — корень многочлена , то делится на без остатка, т. е. найдется такой многочлен что

3. Пусть - корни уравнения , где Доказать, что имеют место равенства

Это утверждение при читателям хорошо известно как теорема Виета. В общем случае оно тоже так называется.

4. Пусть некоторый симметрический многочлен с рациональными коэффициентами от корней уравнения Доказать, что существует такое рациональное число с, для которого выражение

будет рациональным соотношением между корнями уравнения

5. Привести примеры числовых полей, отличных от поля рациональных чисел Q. Проверить, что всевозможные числа вида

образуют числовое поле.

6. Доказать, что если квадратный корень из дискриминанта многочлена является рациональным числом, то группа Галуа этого многочлена целиком состоит из четных перестановок.