1. Группа симметрий правильного треугольника.
Занумеруем вершины правильного треугольника числами 1, 2, 3 (рис. 24) и будем характеризовать каждое его самосовмещение 
перестановкой на множестве вершин треугольника
где 
— номер места, которое после выполнения преобразования 
заняла вершина 
. Центр правильного треугольника О является центром симметрии порядка 3, т. е. повороты 
на углы 
соответственно вокруг точки О против часовой стрелки переводят треугольник в себя.
Рис. 24
Рис. 25
Кроме того, имеется три осевых симметрии 
определяемых осями симметрии 
соответственно, проходящими через вершины правильного треугольника и середины его противоположных сторон (рис. 24). Принятое нами соответствие между самосовмещениями треугольника и перестановками множества вершин треугольника дает
Таким образом, группа симметрий правильного треугольника — это симметрическая группа 53.
