ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

§1

1. а)

б)

в)

2. а) Замкнуто; б) замкнуто; в) замкнуто; д) незамкнуто,

§2

2. При существует разных инъекций множества А в множество В,

3. Решение. Пусть В есть элементное множество. Зафиксируем произвольное множество Образ множества А при любом инъективном отображении будет некоторым -элементным подмножеством множества В. Множество А будет иметь тот же самый образ А а В при разных инъекциях тогда и только тогда, когда они будут отличаться на некоторую биекцию множества А в себя. Поскольку то существует различных биекций на себя. А поэтому есть различных -элементных подмножеств множества В.

5. На каждой вертикальной или горизонтальной прямой графика биекции отмечедаодна и только одна вершина сетки. При стрелочном изображении биекции из каждой точки, которой обозначен элемент множества А, выходит точно одна стрелка и в каждую точку, которая является обозначением элемента множества В, входит одна и только одна стрелка.

6. 44. Указание. Сначала нужно найти количество перестановок, которые оставляют без изменения по меньшей мере один мент множества М.

7.

8. Пусть — множества перестановок которые удовлетворяют соответственно условиям Понятно, что каждая перестановка содержится в одном из этих множеств,

Поскольку отображение множества G на множество в соответствии с которым каждой перестановке

из множества ставится в соответствие перестановка

из множества биективно (проверьте), то Для перестановки множества справедливо равенство

Следовательно, существует перестановок которые удовлетворяют условию упражнения,

§3

2. а) б) в)

4. Вершина координатной сетки при построении графика преобразования обозначается тогда и только тогда, когда существует такое число , что на графике преобразования обозначена вершина сетки , а на графике преобразования — вершина

5. Допустим сначала, что — не перестановка. Тогда найдутся элементы такие, что Для них имеем (а) что противоречит условию задачи. Если — не перестановка, то множество образов элементов М при действии является собственным подмножеством множества Следовательно, элементы вида , не исчерпывают все множество М, т. е. преобразование не сюръекция, а это противоречит условию задачи.

6. Указание. Воспользоваться утверждением, сформулированным в предыдущем упражнении.

7. а) б)

8. а) Уравнение не имеет решений;

б) уравнение имеет четыре решения:

в) уравнение не имеет решений;

г) уравнение имеет единственное решение

§4

1. а) Нет; б) да; в) да.

2. а) Нет; б) да; в) да; г) ни одна из этих полугрупп группы не образует,

4. Таблица умножения абелевой группы симметрична относительно оси, которая проходит из левого верхнего ее угла к правому нижнему,

§5

1. Нет. Если граф задает преобразование, то из каждой его вершины выходит одна и только одна стрелка.

3. На графе произведения преобразований множества М точки, которыми обозначены элементы соединяются стрелкой в направлении от а к b тогда и только тогда, когда существует такая точка с, что на графе преобразования точки а, с соединяются стрелкой в направлении от а к с, а на графе преобразования точки с, b соединены стрелкой в направлении от с к

§6

1. а) б) 2. 3.

4.

5. Указание, Рассмотреть перестановки II

6. Указание, Воспользоваться решением упражнения 11,

§5

9. Если перестановка имеет разложение

то цикл определяется так:

Убедиться, что справедливо равенство

§7

1. Указание, Доказательство легко проводится индукцией по числу

2. Достаточно проверить, что любое преобразование из Р (М) можно разложить в произведение перестановок из S (М) и преобразования а. Это проверяется в несколько шагов:

а) умножением а справа или слева на подходящую перестановку можно получить всевозможные преобразования, переводящие какие-либо два элемента множества М в один и тот же его элемент;

б) из таких преобразований конструируются преобразования множества М, переводящие некоторые k элементов множества М в один и тот же элемент, а все остальные элементы оставляющие на месте

в) очевидно, что любое преобразование из является произведением преобразований вида б).

3. а)

4. Сеть дорог можно рассматривать как граф с вершинами. Наименьшее число связывающих дорог отвечает тому, что граф — дерево. Поэтому достаточно провести связывающих дорог.

8. 9. Да, 10. Да

12. Из равенства вытекает, что При фиксированных получаем, что транспозиции вида — фиксированный, — произвольный) можно выразить через отмеченные перестановки. Осталось убедиться, что множество таких транспозиций является системой образующих

§8

1. Указание. Для произвольной перестановки существует натуральное число такое, что (например, равное порядку этой перестановки). Отсюда

2. Группа содержит 4 трехэлементных подгруппы:

3. Подгрупп второго порядка в столько, сколько имеется перестановок из порядка 2. Перестановка имеет порядок 2 тогда и только тогда, когда она является транспозицией или произведением двух взаимно простых транспозиций. Следователь но, таких перестановок

4. Четверная группа Клейна содержит 3 нетривиальные собственные подгруппы — любой ее неединичный элемент вместе с тождественной подстановкой образует подгруппу. Циклическая группа содержит одну нетривиальную собственную подгруппу, а не содержит нетривиальных собственных подгрупп.

8. Центр совпадает с тривиальной подгруппой Центр совпадает с

9. 10.

§ 9

1. Проверить, что вращение а правильного -угольника вокруг дентра на утол и симметрия относительно любой из осей не коммутируют, т. е.

2. В группе имеются (без учета ) лишь элементы порядка 7 (неединичные вращения) и элементы порядка 2 (симметрии). В группе DH среди вращений имеются: один элемент порядка 2 (угол ), два элемента порядка 4 (углы элемента порядка 8.

3. Системы образующих группы из двух элементов порядка 2 существуют. Такими будут, например, симметрии относительно осей, образующих угол Они, очевидно, неприводимы. Неприводимые системы образующих состоящие из разного количества перестановок, существуют, когда — непростое число,

5. Да

8. Центр группы вращений тетраэдра — тривиальная подгруппа.

10. Группа симметрий прямой призмы, в основании которой лежит правильный группа одинаково действующая на множествах вершин верхнего и нижнего оснований, а ее группа вращений — подгруппа совпадающая с

§ 10

1. Если то группы циклические и соответствие является изоморфизмом этих групп, Если то группы тоже являются циклическими и любое из соответствий

либо

является изоморфизмом этих групп.

2. Указание. Установить сначала, что в группе, состоящей из четырех элементов, могут встречаться лишь элементы порядков 2 и 4. Затем рассмотреть возможные случаи.

4. Стабилизатор любого элемента регулярной группы перестановок является тривиальной подгруппой.

7. Указание. Проверить, что композиция изоморфизмов, , их последовательное осуществление, тоже изоморфизм,

§ 11

I. Разложения на правые и левые классы смежности по подгруппе В совпадают. Это строки из

Разложением на правые классы смежности по подгруппе А будут строки из

а на левые — строки из

3. Если Н — подгруппа индекса 2 в группе G, то множество является одним из двух классов смежности (как правым, так и левым).

4. Указание, Убедиться, что в есть подгруппа такого порядка.

5. 1, 2, 3, 4, 6, 12. В группе существуют перестановки порядков 2, 3, 6 (без учета тождественной перестановки).

6. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. В группе 54 существуют элементы порядков 2, 3, 4 (без учета тождественной перестановки),

§ 12

1. Стабилизатор вершины в группе G состоит из трех вращений куба вокруг диагонали (на углы по часовой стрелке),

3. а) Очевидно, имеем ; б) если то ; в) если то

4. Если перестановки сопряжены с перестановкой , то они сопряжены между собой, Поэтому множество G разбивается на наибольшие возможные подмножества попарно сопряженных между собой перестановок.

Пусть - два таких подмножества, причем Тогда найдется такая перестановка а, что Она сопряжена со всеми элементами из и со всеми элементами из Отсюда получаем, что все элементы между собой попарно сопряжены, А это противоречит выбору Следовательно,

5. Указание. Можно воспользоваться решением задачи 7,

7. Указание. Воспользоваться тем, что сопряженная перестановка к циклу тоже цикл:

а сопряженная с произведением взаимно простых перестановок совпадает с произведением сопряженных к каждой из них.

10. Проверить, что существуют перестановки, переводящие данную грань в любую другую. Стабилизатор грани совпадает с группой вращений куба вокруг оси, проходящей через центр грани и ей перпендикулярной.

§ 14

2. Группой инерции многочлена является циклическая группа порядка

3. Группа инерции многочлена состоит из 12 перестановок.

4. Доказательство. Рассмотрим многочлен Его группа инерции тривиальна. Кроме того, для каждой перестановки имеем А поэтому для произвольной подгруппы группы многочлен инвариантен относительно действия тех и только тех перестановок, которые входят в подгруппу G.

5. содержит шесть одночленов.

7. содержит одночленов

§ 15

2. 5. 4. Подгруппа, которая содержит три элемента.

5. Центром группы является тривиальная подгруппа Указание. Доказать, что каждая четная перестановка, которая коммутирует со всеми циклами длины 3, тождественная.

7. Указание. Воспользоваться равенствами — разные. элементы множества

8. Да

9. Указание. Доказать, что при умножении перестановки на транспозицию четность числа инверсий ее второго ряда изменяется,

10. Указание. Воспользоваться тем, число перестановок множества из элементов, вторые ряды которых содержат ровно k инверсий, удовлетворяет соотношению

где , для или

11. Указание. Разложить каждый цикл в циклической форме записи перестановки в произведение транспозиций и подсчитать число транспозиций,

§ 16

3. Указание, Выразить сумму попарных произведений длин сторон треугольника и произведение длин всех его сторон через данные числа и воспользоваться тем, что в формуле Герона под знаком корня стоит симметрический многочлен.

4. Указание. Для многочлена рассмотрите одночлен ахху у которого показатель, степени k наивысший. Если таких одночленов несколько, то нужно взять тот, у которого показатель I наивысший. Докажите, что одночлен с такими свойствами не может уничтожаться при переходе от

6. Действительно, если в многочлене поменять местами 1 и то он, с одной стороны, не изменится, а с другой — изменит знак на противоположный. Значит, тождественно равно 0.

8. Указание, Докажите, что шах

§ 17

2. Разделим многочлен на с остатком, т. е. запишем равенство , где — некоторое число. Подставляя в это равенство вместо переменной число а, получим верное числовое равенство: . Отсюда

3. Указание. Согласно упражнению 2 многочлен раскладывается в произведение Раскрывая скобки в этом произведении и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой части после раскрытия скобок, получим требуемое,

4. Указание. Воспользоваться основной теоремой § 16,

5. Числовое поле образуют все действительные числа, все числа вида где — простое число, и многие другие числовые множества. Однако, любое числовое поле содержит поле рациональных чисел Q (поскольку оно должно содержать 0 и 1), Всевозможные числа вида образуют числовое поле, поскольку сумма и разность чисел такого вида снова будет числом такого вида:

Для произведения и частного чисел такого вида имеем

где есть это числа такого же вида, и, следовательно, множество таких чисел образует поле.

§ 18

4. а) Да; б) нет.

5. Указание. На каждой фишке напишем новый номер по следующему правилу. Если старый номер 14 (15), то новый 15 (соответственно 14). На всех остальных фишках новый номер совпадает со старым. Сами же. фишки передвигать не будем. Размещение фишек с новыми номерами характеризуется четной перестановкой и поэтому от него можно перейти к стандартному относительно новых номеров. Но стандартное размещение относительно новых номеров — это требуемое размещение относительно старых номеров.

6. Указание. Занумеровать буквы в том порядке, в котором они стоят в фразе «игра в пятнадцать». Учесть, что среди этих букв есть одинаковые — буква и воспользоваться решением предыду щего упражнения,

§ 19

5. Пор. (пор. а, чтор. Р)

6.

при рассмотрении перестановок из L нужно учесть естественную нумерацию элементов множества

7.

9.

11. Группа симметрий многочлена является сплетением для которого естественном образом определено действие на множестве номеров кортежей из

§ 20

1. а) Меняются местами ередние кубики меняются местами угловые кубики

2. Обе перестановки имеют порядок 6.

6. Прямые суммы перестановок , таких, что а — четная перестановка (т. е. имеют одинаковую ).

7. Проверить, что имеет место равенство

8. Коммутант совпадаете Указание, Воспользоваться решением предыдущей задачи.

10. Можно.