ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

К. Хирота (Институт государства и права)

Прошло более четверти века с тех пор, как Л. А. Заде из Калифорнийского университета предложил теорию нечетких множеств. Эта теория развивалась во многих направлениях, поэтому для восприятия всех ее идей потребуется довольно много времени. Однако чтобы применить ее в конкретной области, достаточно небольшого числа понятий. Ниже рассмотрены основные положения теории нечетких множеств с тем, чтобы ее быстро освоить в прикладной области. Прежде всего изучим теорию четких множеств и двузначную булеву логику. Затем на их основе перейдем к понятиям теории нечетких множеств и нечеткой логики. Кроме того, обратим внимание на нечеткие выводы, особенно важные с точки зрения применения этой теории, а также на нечеткие продукционные правила и нечеткие отношения.

2.1. ЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Английское слово fuzz, от которого образовано прилагательное fuzzy (нечеткий), означает «ворс» - специальный термин, определяющий свойство тканей. Когда мы смотрим на рисунок на ворсистой ткани, он кажется нам размытым, поэтому говоря «нечеткий», мы будем иметь в виду «неясный», «размытый». Нечетким множеством, например, мы назовем всех японских красавиц. Смысл этого определения нам понятен, но сказать, принадлежит ли этому множеству та или иная девушка однозначно, только с помощью слов «да» или «нет», нам трудно; таким образом, мы имеем дело с неопределенными, нестрогими свойствами объектов изучения.

В отличие от этого мир, свойства которого можно строго определить двумя словами, например «мужчина или женщина?», назовем четким миром. Следовательно, логику компьютеров, которые имеют дело с 0 и 1, будем называть

четкой логикой, а обычные множества - четкими множествами. Как расширение этих понятий можно рассматривать нечеткую логику и нечеткие множества. Для того чтобы подготовиться к пониманию этих понятий, прежде всего изучим теорию четких множеств.

К теории четких множеств в общем случае относятся аксиоматическая теория множеств и элементарная теория множеств. Первая - одна из фундаментальных теорий математики, она требует достаточно высокого уровня философского мышления. Однако здесь нам достаточно всего лишь расширить понятие множества, изучаемого еще в школе, до понятий элементарной теории множеств. Кроме того, для понимания теории нечетких множеств нам необходимо понятие характеристической функции.

Сначала объясним несколько основных терминов и обозначений. Прописными буквами (например, X) будем обозначать совокупность объектов, с которыми мы будем иметь дело, а строчными буквами (например, х) - отдельные структурные элементы. При этом введем обозначение

Фигурные скобки означают совокупность объектов. Саму совокупность (здесь X) назовем предметной областью, полным пространством или вспомогательным множеством. Последнее название особенно часто используется в области нечеткого управления. (Слово «вспомогательный» в математическом анализе и ряде других областей имеет несколько иной оттенок, поэтому обращаем на это внимание.) Отдельные структурные элементы назовем просто элементами или объектами. Тот факт, что х является элементом X, обозначим следующим образом:

В полном пространстве X определим множество (четкое множество). В качестве названий (меток) множеств будем использовать прописные буквы А, В, С. Например, пусть полное множество состоит из десяти цифр

тогда множество четных цифр A - это множество

При этом число структурных элементов назовем мощностью множества или кардинальным числом; введем для него обозначение . В указанных выше примерах

В случае назовем синглетоном. Множество с конечным назовем конечным множеством, все элементы в таком множестве можно записать так, как в формулах (2.3) и (2.4), но, например в случае натуральных или вещественных чисел, т. е. бесконечных множеств, этого сделать нельзя. При этом часто используют способ записи, при котором справа от вертикальной черты записывают все свойства множества. Например формулу (2.4) можно записать в виде

Кроме того, для об означения понятия в виде рисунка часто используют диаграммы Венна (рис. 2.1).

Помимо указанных способов для определения понятий четкого множества существует способ определения с помощью характеристической функции. Характеристическая функция определяющая множество А в полном пространстве X, представляет собой отображение, для которого X есть область определения, а (двузначное множество из 0 и 1) есть область значений:

При этом если элемент удовлетворяет свойствам А, и 0, если не удовлетворяет. Следовательно, если отложить X на горизонтальной, а на вертикальной оси, то получим графической представление, показанное на рис. 2.2.

В полном пространстве X можно рассматривать различные множества, например А с некоторыми свойствами и В с другими свойствами. Объединение всех Таких множеств называется степенным множеством и обозначается Например, пусть

тогда степенное множество есть

Рис. 2.1. Представление множества с помощью диаграммы Вейна.

Рис. 2.2. Определение множества с помощью характеристической функции.

Здесь 0 - специальное множество, в котором нет элементов, оно называется пустым множеством. Его характеристическая функция

Здесь V называется квантором всеобщности, его можно читать словом «всех». (Кроме него есть квантор существования 3 в смысле «существует...».) Эти кванторы часто используются в логике и искусственном интеллекте. В отличие от пустого множества характеристическая функция полного множества X имеет вид

Кроме того, для мощности множества в общем случае справедливо утверждение

Это можно легко вывести из формул (2.8) и (2.9).

Теперь изучим некоторые операции над множествами (рис. 2.3). Прежде всего, отношение вложения множеств: если элементы А обязательно являются элементами В, то А называется подмножеством В (или В - надмножеством А), что обозначается как ( справедливо также при , если , но , то А называется собственным подмножеством В). Если определить А с: В через характеристическую функцию, то получим следующее неравенство:

Для отношения вложения множеств можно доказать

Рис. 2.3. Вложение (а), дополнение (б), произведение (в) и сумма множеств

справедливость трех свойств:

1) рефлексивность

2) антисимметричность

3) транзитивность

Можно сказать, что образует частично упорядоченное множество, или (Для отношения вложени» множеств обычно для произвольных А, В не всегда справед ливо А с В или В а А, поэтому наше множество не является линейно упорядоченным или полностью упорядоченным множеством.)

В представляют интерес унарные и бинарные операции. Это операции дополнения множества А пересечения множеств А и и объединения множесл A U В. Графически их можно пояснить с помощью диаграм

Венна на рис. 2.3, в, г. С помощью характеристических функций операции можно определить следующим образом:

Здесь называются операциями взятия минимума и максимума, т. е. взятия наименьшего и наибольшего значений.

Для операций над множествами, определенных выше, можно сравнительно легко доказать справедливость следующих свойств:

1) закон идемпотенции

2) закон коммутативности

3) закон ассоциативности

4) закон абсорбции

5) закон дистрибутивности

6) закон комплементарности

В общем случае POSET, удовлетворяющее четырем свойствам (идемпотентности, коммутативности, ассоциативности и абсорбции), называется решеткой; решетка, удовлетворяющая закону дистрибутивности, - дистрибутивной решеткой, а дистрибутивная решетка, удовлетворяющая закону комплементарности, - комплементарной дистрибутивной решеткой. Кроме того, комплементарная дистрибутивная решетка известна как булева решетка или булева алгебра.

Таким образом, понятие точного множества можно обсуждать в рамках булевой алгебры.

В заключение отметим следующие два важных свойства, справедливых в булевой алгебре:

1) двойное отрицание

2) закон де Моргана