6.2.3. СИСТЕМА ОБРАБОТКИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ НА ЛИСПЕ

При реализации прикладной системы [15], основанной на нечетких множествах [28], прежде всего необходимо написать подпрограммы представления и обработки на компьютере нечетких множеств, а затем уже строить соответствующую прикладную систему. Организация представления и обработки нечетких множеств конкретного типа не так сложна [16], но если используются также нечеткие отношения, то это уже представляет определенные трудности. Достаточно сложно реализовать использование нечетких множеств второго рода (нечетких множеств, оценка которых также является нечетким множеством) или нечетких множеств второго уровня (нечетких множеств, элементы которых являются нечеткими множествами).

Мумано и др. [29-31] построили систему, которая позволяет обрабатывать традиционные нечеткие множества на базе языка Лисп. Эта система имеет несколько версий. Ниже мы опишем систему на базе (работающей под управлением MS-DOS) на компьютерах серии

Особенности этой системы:

• возможно представление и обработка почти всех предложенных до сих пор нечетких множеств и нечетких отношений;

• нечеткие множества записываются в естественном виде с использованием скобок а наборы значений с использованием скобок

• предусмотрено множество встроенных функций обработки

нечетких множеств;

• возможно определение собственных функции обработки

нечетких множеств;

• функции Лиспа используются также для нечетких множеств и наборов значений (вычисления по принципу расширения [32]);

• без изменения используются почти все возможности Лиспа и т. п.

Ниже возможности этой системы рассмотрены на нескольких примерах.

Пример 1. Представление нечетких множеств и нечетких отношений. В данной системе нечеткие множества записываются с помощью скобок а нечеткие отношения - с помощью скобок как набор нечетких множеств. Например,

Для замены этих понятий на переменные используется функция Лиспа setq. Для замены нечетких множеств на переменные можно записать

а для замены нечетких отношений на

Здесь обозначает подсказку из системы. Таким образом, если вслед за подсказкой пользователь введет подчеркнутую строку, то система подсчитает (в Лиспе эта операция называется оценкой) входные данные пользователя и выдаст на экран эти значения в следующей строке. Автоматически

произойдет замена значений в функции setq, и соответствующие нечеткое множество и нечеткое отношение будут выданы на экран. В системе muLisp-86 все обозначения строчными буквами превращаются в обозначения прописными буквами.

В данной системе как частные случаи нечетких множеств и нечетких отношений можно представить традиционные множества и отношения, нечеткие множества рода и нечеткие множества уровня в случае вложения скобок нечеткие множества -типа в случае группировки оценок, а также нечеткие множества в случае комбинации всех подобных обозначений [29].

Пример 2. Операции над нечеткими множествами. Выполнив операции в примере 1, мы введем переменные значения которых суть нечеткие множества. Поэтому для получения их объединения и пересечения запишем

Начиная от символа и до конца строки идет комментарий.

Аналогичные операции можно выполнить для нечетких отношений. Выполнив пример 1, мы введем в нечеткие отношения, поэтому запишем

Кроме приведенных в примере 2 функций предусмотрено много других встроенных функций. К ним относятся следующие десять типов функций: 1) функции обработки нечетких множеств (7 функций); 2) функции обработки нечетких отношений (11); 3) функции оценок (5); 4) функции обработки элементов (4); 5) функции предикатов (5); 6) функции сравнения (10); 7) функции преобразования типов (7); 8) функции ввода/вывода (6); 9) вспомогательные функции обработки нечетких множеств (6); 10) другие функции (5).

Пример 3. Вычисления по принципу расширения. Функции Лиспа можно применять к нечетким множествам путем добавления перед ними знака а вычисления выполняются принципу расширения [32].

Сложение и умножение обычных чисел на Лиспе записывается в виде

Для вычислений с нечеткими множествами (нечеткими числами) прежде всего определим нечеткие числа

затем можно вводить

Пример 4. Применение для нечетких выводов. Вывод по нечеткому правилу и нечеткому факту:

Заде предложил формализовать подобные задачи следующим образом. Прежде всего рассмотрим типовую форму указанного выше вывода.

Здесь Р и А - нечеткие множества в U, a Q и В - нечеткие множества в V. Правило преобразуем в следующее нечеткое отношение в

где - дополнительное множество, - прямое произведение, -граничная сумма.

При этом нечеткое множество В для у можно определить следующим образом:

Здесь обозначает операцию взятия минимума. Эта операция называется образом нечеткого множества А по нечеткому отношению R. Она является частным случаем композиции отношений (композиционным правилом вывода).

Приведенный выше вывод (выражение можно записать следующим образом.

Прежде всего определим полные пространства U и V:

Затем определим нечеткие множества «маленькое» и «большое»:

Используя арифметические правила (6.18), определим функцию imply-arithmetic, которая строит из правила нечеткое отношение. Для определения функции применим функцию Лиспа defun:

В этом определении bsum, ср, adif - функции, которые в данной системе реализуют соответственно граничную сумму, прямое (картезианское) произведение и абсолютную разность. Таким образом можно определять функции, значениями которых являются нечеткие отношения. Используя эту функцию, из нечетких множеств small и large построим нечеткое отношение, соответствующее правилу «если х большое, то у маленькое».

Теперь определим функцию, соответствующую понятию «очень» в факте «очень большое». Ее можно представить как вторую степень любого множества, т. е.

Функция gfuncall - одна из универсальных функций (функция, аргументом которой является функция). Она возвращает в качестве значения нечеткое множество, получаемое в результате применения степенной функции к нечеткому множеству. Функция expt (возведение в степень: число 2 указывает возведение в квадрат) применяется для получения степени нечеткого множества F. Если эту функцию применить к large, то получим

Следовательно, если для определенного выше нечеткого отношения применить функцию image (образ), то получим

что соответствует заключению вывода.

Выше мы рассмотрели систему обработки нечетких множеств на Лиспе, которая позволяет оперировать с нечеткими множествами, причем методы их обработки детерминированные (не являются нечеткими). В этом смысле эту систему можно назвать «нечетким Лиспом». Ее следовало бы назвать базовой системой (или средством) для построения разнообразных «систем нечеткого...», содержащих нечеткий Лисп. На практике с помощью данной системы уже спроектированы нечеткая продукционная система [33] и нечеткий Пролог [34].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)