5.4.2. ПАЛЛИАТИВНОЕ И а-ПАЛЛИАТИВНОЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

В общем случае задачу многоцелевого планирования (МЦП) определим как задачу оптимизации в некотором смысле нескольких взаимно противоречащих целевых функций при заданных ограничениях. Формально ее можно рассматривать как следующую задачу минимизации векторов:

при условии, что , где -мерный вектор переменных, - к взаимно противоречащих целевых функций, ограничивающих функций, X - область ограничения.

В МЦП целевые функции являются векторами, поэтому вместо традиционного решения, оптимизирующего скалярные целевые функции, определим паллиативное оптимальное решение как решение, при котором для улучшения значения определенной целевой функции приходится ухудшать значение по крайней мере одной из остальных целевых функций.

Определение 5.1. Паллиативное оптимальное решение

Назовем паллиативным оптимальным решением, если для не существует такое что

Однако в известном МЦП нечеткости, обусловленные оценкой специалистов, причастных к постановке задачи, находят отражение в отдельных целевых функциях и параметрах ограничивающих условий. Более строгая формализация задачи возможна в случае следующей формулировки задач нечеткого многоцелевого планирования (НМ ЦП) с нечеткими параметрами:

при условии, что

где - векторы нечетких чисел, входящих соответственно в целевую функцию и ограничивающее условие. Векторы соответствующих функций принадлежности для удобства будем обозначать как

Параметры, входящие в целевые функции и ограничивающие условия НМЦП, представляются в виде нечетких чисел, поэтому применить понятие паллиативного оптимального решения, определенного для существующего МЦП, невозможно. Для этой цели введем множество -уровня как множество значений функций принадлежности всех векторов нечетких чисел больших а, которое обозначим следующим образом:

Если зафиксировать а на некотором допустимом уровне, то параметры, входящие в целевые функции и ограничивающие условия, будут иметь некоторый допуск, зависящий от а. При этом задачу НМЦП можно будет сформулировать как следующую задачу четкого -многоцелевого планирования

при условии, что

Таким образом, путем явного расширения понятия паллиативного оптимального решения можно определить а-паллиативное оптимальное решение для учитывающего нечеткости, входящие в задачу.

Определение 5.2. а-паллиативное оптимальное решение Назовем а-паллиативным оптимальным решением, а оптимальными коэффициентами а-уровня, если для а-МЦП не существуют такие что

Предложено несколько диалоговых методов для выводов о решении, удовлетворяющем ЛПР и учитывающем нечеткости, входящие в задачу. Такое решение выбирается среди множества а-паллиативных решений путем обновления значений а и целевых функций в диалоге в ЛПР [28-30].

Однако если еще учитывать и нечеткости суждений человека, то приходится считаться с тем, что ЛПР имеет нечеткое представление о каждой из целевых функций а-МЦП. Например, для задач минимизации ЛПР допускает существование нечеткого минимума: «желательно, чтобы целевая функция большей частью была меньше Подобную нечеткую постановку цели можно представить количественно за счет субъективного определения ЛПР монотонно убывающей функции принадлежности для целевой функции Нечеткий максимум, который ЛПР для задачи максимизации представляет в виде «желательно, чтобы целевая функция большей частью была больше можно определить с помощью монотонно возрастающей функции принадлежности для целевой функции . В самом общем случае при нечетком подходе к постановке цели ЛПР можно определить нечеткое равенство «желательно, чтобы целевая функция большей частью была равна Подобное обобщенное а-МЦП (0 а-МЦП) можно представить следующим образом [31]:

где

Для задач с целевыми функциями типа нечеткого равенства вместо а-паллиативного оптимального решения на основе отношений неравенства целевых функций можно определить следующее М-а-паллиативное оптимальное решение на основе неравенства функций принадлежности. Определение 5.3. М-а-паллиативное оптимальное решение Назовем -паллиативным оптимальным решением, -соответствующими оптимальными коэффициентами -уровня, если для -МЦП не существуют такие что

. При этом