§ 71. Цилиндрические волны

Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех величин однородно вдоль некоторого одного направления (которое мы выберем в качестве оси ) и обладает полной аксиальной симметрией вокруг этой оси.

В такой, как говорят, цилиндрической волне имеем где посредством R обозначается расстояние до оси . Определим общий вид такого осесимметрического решения волнового уравнения. Это можно сделать, исходя из общего вида сферически симметричного решения (70,2). R связано с посредством так что определяемое формулой (70,2), зависит при заданных t и R также и от г. Функцию, зависящую только от R и t и в то же время удовлетворяющую волновому уравнению, можно получить интегрированием выражения (70,2) по всем значениям z от до или, что то же, от 0 до Перейдем от интегрирования по z к интегрированию по . Имеем

при изменении от 0 до меняется в пределах между R и Поэтому находим окончательно общий вид осесимметричного решения:

где — произвольные функции. Первый член представляет собой расходящуюся, а второй — сходящуюся цилиндрическую волну.

Производя в этих интегралах замену переменных перепишем формулу (71,1) в виде

Мы видим, что значение потенциала в момент времени t (в точке R) в расходящейся цилиндрической волне определяется значениями функции в течение всего времени от до аналогично в сходящейся волне существенны значения функции в течение всего времени от до .

Как и в сферическом случае, стоячие цилиндрические волны получаются при Можно показать, что стоячая цилиндрическая волна может быть представлена также и в следующем виде:

где — снова произвольная функция.

Выведем выражение для потенциала монохроматической линдрической волны.

Волновое уравнение для потенциала в цилиндрических координатах имеет вид

В монохроматической волне и для функции получаем уравнение

Это — уравнение функций Бесселя нулевого порядка. В стоячей цилиндрической волне должно оставаться конечным при соответствующим решением является , где — функция Бесселя первого рода. Таким образом, в стоячей цилиндрической волне

При функция обращается в единицу, так что амплитуда волны стремится к конечной величине А. На больших же расстояниях R функцию можно заменить ее известным асимптотическим выражением, в результате чего волна приобретет вид

Решение же, соответствующее монохроматической бегущей расходящейся волне, есть

где — функция Ганкеля. При это выражение имеет логарифмическую особенность:

На больших же расстояниях имеет место асимптотическая формула

Мы видим, что амплитуда цилиндрической волны падает (на больших расстояниях) обратно пропорционально корню из расстояния до оси, а интенсивность соответственно, как . Этот результат естествен, поскольку по мере распространения волны полный поток энергии в ней распределяется по цилиндрической поверхности, площадь которой растет пропорционально

Цилиндрическая расходящаяся волна существенно отличается от сферической или плоской в том отношении, что она может иметь передний, но не может иметь заднего фронта: после того как звуковое возмущение дойдет до заданной точки пространства, оно уже не прекращается в ней, лишь сравнительно медленно затухая асимптотически при Пусть функция в первом члене в (71,2) отлична от нуля лишь в некотором конечном интервале значений Тогда в моменты времени будем иметь:

При это выражение стремится к нулю по закону

т. е. обратно пропорционально времени.

Таким образом, потенциал расходящейся цилиндрической волны, возникшей от действовавшего в течение конечного времени источника, хотя и медленно, но обращается в нуль при Это обстоятельство приводит, как и в сферическом случае, к равенству нулю интеграла

Поэтому цилиндрическая волна, как и сферическая, непременно должна содержать в себе как сгущения, так и разрежения.