§ 90. Гофрировочная неустойчивость ударных волн

Соблюдение условий эволюционности само по себе необходимо, но еще недостаточно для гарантирования устойчивости ударной волны. Волна может оказаться неустойчивой по отношению к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль поверхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь», или «гофрировку», на этой поверхности (такого рода возмущения рассматривались уже в § 29 для тангенциальных разрывов). Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для ударных волн в произвольной среде (С. П. Дьяков, 1954).

Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость жидкость движется сквозь нее слева направо, в положительном направлении оси Пусть поверхность разрыва испытывает возмущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси на малую величину

где — волновой вектор «ряби». Эта рябь на поверхности вызывает возмущение течения позади ударной волны, в области (течение же перед разрывом, не испытывает возмущения в силу своей сверхзвуковой скорости).

Произвольное возмущение течения складывается из энтропийно-вихревой волны и звуковой волны (см. задачу к § 82). В обоих зависимость величин от времени и координат дается множителем вида с той же частотой со, что и в (90,1). Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор к лежит в плоскости его компонента совпадает с в (90,1), а х-компонента различна для возмущений двух типов.

В энтропийно-вихревой волне т. е. невозмущенная скорость газа за разрывом).

В этой волне возмущение давления отсутствует, возмущение удельного объема связано с возмущением энтропии, а возмущение скорости подчинено условию

В звуковой волне в движущемся газе связь между частотой и волновым вектором дается равенством (см. (68,1)); поэтому в этой волне определяется уравнением

Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны соотношениями:

Возмущение в целом представляется линейной комбинацией возмущений обоих типов:

Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям на возмущенной поверхности разрыва.

Прежде всего, на этой поверхности должна быть непрерывна тангенциальная к ней составляющая скорости, а скачок нормальной составляющей должен выражаться через возмущенные давление и плотность равенством (85,7). Эти условия записываются как

где — единичные векторы касательной и нормали к поверхности разрыва (рис. 59).

Рис. 59

С точностью до величин первого порядка малости компоненты этих векторов (в плоскости ) равны выражение возникает как производная . С этой же точностью граничные условия для скорости принимают вид

Далее, возмущенные значения должны удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и невозмущенные Отсюда получаем условие, связывающее

где производная берется вдоль адиабаты.

Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между потоком вещества через поверхность разрыва и скачками давления и плотности на ней. Для невозмущенного разрыва это соотношение выражается формулой (85,6), а для возмущенного аналогичное соотношение есть

где — скорость точек поверхности разрыва. В первом приближении по малым величинам имеем разлагая написанное равенство также и по степеням и , получим:

Равенства (90,2), (90,4-5), (90,7-9) составляют систему восьми линейных алгебраических уравнений для восьми величин Условие совместности этих уравнений (выражаемое равенством нулю определителя их коэффициентов) имеет вид:

где для краткости обозначено имеет обычный смысл: Величину в (90,10) надо понимать как функцию и и, определяемую равенством (90,3).

Условие неустойчивости состоит в существовании возмущений, экспоненциально возрастающих со временем, причем они должны экспоненциально убывать с удалением от поверхности разрыва (т. е. при ); последнее условие означает, что источником возмущения является сама ударная волна, а не какой-то внешний по отношению к ней источник. Другими словами, волна неустойчива, если уравнение (90,10) имеет решения, у которых

(90,11)

Исследование уравнения (90,10) на предмет выяснения условий существования таких решений довольно громоздко. Мы не будем производить его здесь, ограничившись указанием окончательного результата.

Гофрировочная неустойчивость ударной волны возникает если

или

напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты (при заданных ).

Условия (90,12-13) отвечают наличию у уравнения (90,10) комплексных корней, удовлетворяющих требованиям (90,11). Но в определенных условиях это уравнение может иметь также и корни с вещественными и и отвечающие «уходящим» от разрыва реальным незатухающим звуковым и энтропийным всмь нам, т. е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва. Мы будем говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчивости ударной волны, хотя неустойчивости в буквальном смысле здесь нет, — раз созданное на поверхности разрыва возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемыми волнами, черпается из всей движущейся среды.

Для определения условий возникновения этого явления, преобразуем уравнение (90,10), введя угол между к и осью тогда

( — частота звука в системе координат, движущейся вместе с газом за ударной волной), и получаем квадратное относительно уравнение:

Скорость распространения звуковой волны в движущемся со скоростью газе, по отношению к неподвижной поверхности разрыва, есть

Звуковая волна будет уходящей, если эта сумма положительна, т. е. если

(90,16)

(значения отвечают случаям, когда вектор к направлен в сторону разрыва, но снос звуковой волны движущимся газом делает ее все же «уходящей»). Спонтанное излучение звука ударной волной возникает, если уравнение (90,15) имеет корень, лежащий в этих пределах. Простое исследование приводит к следующим неравенствам, определяющим область этой неустойчивости

(90,17)

(нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают нижнему и верхнему пределам в условиях (90,16)). Область (90,17) примыкает к области неустойчивости (90,13), расширяя ее.

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает. В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Решение этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений, — как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет вещественные корни для означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным.

Это другая формулировка возможности спонтанного излучения звука, т. е. излучения без падающей извне звуковой волны.

То же самое относится и к коэффициенту прохождения звука, падающего на поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В этом случае не существует отраженной волны, а позади поверхности разрыва возникают прошедшие звуковая и энтропийно-вихревая волны. В области (90,17) возможно обращение коэффициента прохождения в бесконечность.

Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принципе, типах ударных адиабат, содержащих области рассмотренных неустойчивостей.

Условие (90,12) требует отрицательной производной причем ударная адиабата должна быть наклонена (к оси абсцисс) в точке 2 менее круто, чем проведенная в нее хорда 12 (т. е. обратно тому, что имеет место в обычных случаях — рис. 53). Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на рис. 60; условие неустойчивости (90,12) выполняется на участке

Рис. 60

Рис. 61

Условие (90,13) требует положительности производной причем наклон адиабаты должен быть достаточно мал. На рис. 60 это условие выполняется на определенных отрезках адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и b и расширяющих, таким образом, область неустойчивости. Условие (90,13) может оказаться выполненным и на участке на рис. 61) адиабаты, не содержащей участка типа ab.

Условие (90,17) еще менее жестко, чем (90,13) и еще дополнительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гюгонио с Более того, нижний предел в (90,17) может быть отрицательным, так что неустойчивость этого типа может, в принципе, иметь место и в некоторых участках адиабат обычного вида, со всюду отрицательной производной .

Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан со следующим замечательным обстоятельством: при выполнении условий (90,12) или (90,13) решение гидродинамических уравнений оказывается неоднозначным (С. S. Gardner, 1963). Для двух состояний среды, 1 я 2, связанных друг с другом соотношениями (85,1-3), ударная волна является обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, переводящем среду из состояния 1 в 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90,12) или (90,13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно: переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но и через более сложную систему волн. Это второе решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения (см. ниже § 99), распространяющейся (относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении; в ударной волне энтропия увеличивается от до некоторого значения а дальнейшее увеличение от до заданного происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис. 78, б; предполагается выполненным неравенство (86,2)).

Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух решений в конкретных гидродинамических задачах, не ясен. Если отбирается распадное решение, то это означало бы, что неустойчивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверхностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако, такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчивостью, поскольку неоднозначность решения не ограничена условиями (90,12-13)