Задачи

1. Привести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений задачу об определении числа Нуссельта при свободной конвекции у плоской вертикальной стенки. Предполагается, что скорость и разности температур заметно отличны от нуля лишь в тонком пограничном слое у поверхности стенки (Е. Pohlhausen, 1921).

Решение. Выбираем начало координат на нижнем краю стенки, ось — вертикально в ее плоскости, а ось у — перпендикулярно стенке. В пограничном слое давление не меняется вдоль оси у (ср. § 39) и потому везде равно гидростатическому давлению так что С обычной для пограничного слоя точностью уравнения (56,6-8) принимают вид

с граничными условиями

(-температура стенки, температура жидкости вдали от стенки). Эти уравнения могут быть преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения введением в качестве независимой переменной величины

— высота стенки). Полагаем:

Тогда последнее из уравнений (1) дает:

а первые два дают уравнения для функций

Из (3—4) следует, что толщина пограничного слоя Условие применимости решения, выполняется при достаточно больших значениях

Полный поток тепла (отнесенный к единице площади стенки)

Число Нуссельта

где функция определяется решением уравнений (4).

2. Горячая турбулентная затопленная струя газа изгибается под влиянием поля тяжести; требуется определить ее форму (Г. Н. Абрамович, 1938).

Решение. Пусть Т — некоторое среднее (по сечению струи) значение разности температур в струе и в окружающем газе, и — некоторое среднее значение скорости газа в струе, а I — расстояние вдоль струи от точки ее выхода (I предполагается большим по сравнению с размерами выходного отверстия струи). Условие постоянства потока тепла Q вдоль струи гласит!

а поскольку радиус турбулентной струи пропорционален I (ср. § 36), то

(1)

(заметим, что без учета поля тяжести — см. (36,3)-и из (1) следует, что ).

Вектор потока нмпульса через поперечное сечение струи пропорционален ( — единичный вектор вдоль направления струи). Его горизонтальная составляющая постоянна вдоль струи:

(2)

( — угол между и горизонталью), а изменение вертикальной компоненты определяется действующей на струю подъемной силой. Последняя пропорциональна

Поэтому имеем:

Ввиду (2) отсюда следует

откуда окончательно

(4)

определяет направление струи в точке ее выхода).

В частности, если на всем протяжении струи изменение угла незначительно, то (4) дает

Это значит, что струя имеет форму кубической параболы, в которой отклонение d от прямоугольной траектории

3. От неподвижного горячего тела поднимается вверх турбулентная (число Рэлея велико) струя нагретого газа. Определить закон изменения скорости я температуры струи с высотой (Я. Б. Зельдович, 1937).

Решение. Как и в предыдущем случае, радиус струи пропорционален расстоянию от источника, и аналогично (1) имеем:

а вместо (3)

— высота над телом, предполагающаяся большой по сравнению с его раз» мерами). Интегрируя последнее уравнение, найдем:

а для температуры соответственно

4. То же для ламинарной свободной восходящей конвективной струи (Я. Б. Зельдович, 1937).

Решение. Наряду с соотношением

выражающим постоянство потока тепла, имеем соотношение

вытекающее из уравнения (56,6). Из этих соотношений находим следующие законы изменения радиуса, скорости и температуры струи с высотой:

Заметим, что число

растет с высотой; поэтому на некоторой высоте струя становится турбулентной.