§ 74. Излучение звука

Колеблющееся в жидкости тело производит вокруг себя периодическое сжатие и разрежение жидкости и таким образом приводит к возникновению звуковых волн. Источником энергии, уносимой этими волнами, является кинетическая энергия движущегося тела.

Таким образом, можно говорить об излучении звука колеблющимися телами.

Ниже будет везде предполагаться, что скорость и. колеблющегося тела мала по сравнению со скоростью звука. Поскольку и (где а — линейная амплитуда колебаний тела), то эта значит, что ).

В общем случае произвольно колеблющегося тела произвольной формы задача об излучении звуковых волн должна решаться следующим образом. Выберем в качестве основной величины потенциал скорости . Он удовлетворяет волновому уравнению

На поверхности тела нормальная составляющая скорости жидкости должна быть равна соответствующей компоненте скорости и тёла:

На больших же расстояниях от тела волна должна переходить в расходящуюся сферическую волну. Решение уравнения (74,1), удовлетворяющее этим граничным условиям и условию на бесконечности, определяет излучаемую телом звуковую волну.

Рассмотрим более подробно два предельных случая. Предположим сначала, что частота колебаний тела настолько велика, что длина излучаемой волны очень мала по сравнению с размерами тела:

В таком случае можно разделить поверхность тела на участки, размеры которых, с одной стороны, настолько малы, что их можно приближенно считать плоскими, но, с другой стороны, все же велики по сравнению с длиной волны. Тогда можно считать, что каждый такой участок излучает при своем движении плоскую волну, скорость жидкости в которой равна просто нормальной компоненте скорости данного участка поверхности. Но средний поток энергии в плоской волне равен (см. § 65) , где v — скорость жидкости в волне.

Подставляя интегрируя по всей поверхности тела, приходим к результату, что средняя излучаемая телом в единицу времени в виде звуковых волн энергия, т. е. полная интенсивность излучаемого звука, есть

Она не зависит от частоты колебаний (при заданной амплитуде скорости).

Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда длина излучаемой волны велика по сравнению с размерами тела:

Тогда вблизи тела (на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны) в общем уравнении (74,1) можно пренебречь членом Действительно, этот член — порядка величины между тем как вторые производные по координатам в рассматриваемой области —

Таким образом, вблизи тела движение определяется уравнением Лапласа Но это — уравнение, определяющее потенциальное движение несжимаемой жидкости. Следовательно, вблизи тела жидкость движется в рассматриваемом случае как несжимаемая. Собственно звуковые волны, т. е. волны сжатия и разрежения, возникают лишь на больших расстояниях от тела.

На расстояниях, порядка размеров тела и меньших, искомое решение уравнения не может быть написано в общем виде и зависит от конкретной формы колеблющегося тела. Для расстояний же, больших по сравнению с I, но малых по сравнению с К (так что уравнение еще применимо), можно найти общий вид решения, воспользовавшись тем, что должно убывать с увеличением расстояния. С такими решениями уравнения Лапласа нам уже приходилось иметь дело в § 11. Как и там, пишем общий вид решения в форме

( — расстояние до начала координат, выбранного где-нибудь внутри тела). При этом, конечно, существенно, что расстояния, о которых идет речь, все же велики по сравнению с размерами тела. Только по этой причине можно ограничиться в членами, наименее быстро убывающими с ростом . Мы оставляем в (74,6) оба написанных члена, имея в виду, что первый член не во всех случаях присутствует (см. ниже).

Выясним, в каких случаях этот член отличен от нуля. В § 11 было выяснено, что потенциал приводит к наличию отличного от нуля потока жидкости через поверхность, окружающую тело; этот поток равен Но в несжимаемой жидкости такой поток может иметь место только за счет изменения общего объема жидкости, заключенной внутри замкнутой поверхности.

Другими словами, должно происходить изменение объема тела, что и будет приводить к вытеснению жидкости из рассматриваемого объема пространства или, наоборот, к «засасыванию» жидкости в него. Таким образом, первый член в (74,6) присутствует в тех случаях, когда излучающее тело производит пульсации, сопровождающиеся изменением его объема.

Предположим, что это имеет место, и определим полную интенсивность излучаемого звука. Объем жидкости, протекающей через замкнутую поверхность, должен быть равен изменению объема V тела в единицу времени, т. е. производной (объем V является заданной функцией времени):

Таким образом, на расстояниях , удовлетворяющих условию движение жидкости описывается функцией

С Другой стороны, на расстояниях (в волновой зоне) должно представлять расходящуюся сферическую волну, т. е. должно иметь вид

Поэтому мы приходим к результату, что излучаемая волна имеет на всех расстояниях (больших по сравнению с ) вид

получающийся заменой в аргумента t на

Скорость направлена в каждой точке по радиусу-вектору и по величине равна . При дифференцировании (74,8) надо (для расстояний брать производную только от числителя; дифференцирование знаменателя привела бы к члену высшего порядка по которым следует пренебречь. Поскольку

то получаем (n — единичный вектор в направлении ):

Интенсивность излучения, определяющаяся квадратом скорости, оказывается здесь не зависящей от направления излучения, т. е. излучение симметрично по всем направлениям.

Среднее значение полной излучаемой в единицу времени энергии есть

где интегрирование производится по замкнутой поверхности вокруг начала координат. Выбирая в качестве этой поверхности сферу радиуса и замечая, что подынтегральное выражение зависит только от расстояния до центра, получаем окончательно:

Это — полная интенсивность излучаемого звука. Мы видим, что она определяется квадратом второй производной по времени от объема тела.

Если тело совершает пульсационные колебания по гармоническому закону с частотой , то вторая производная от объема по времени пропорциональна частоте и амплитуде скорости колебаний; средний же ее квадрат пропорционален квадрату частоты. Таким образом, интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату частоты при заданном значении амплитуды скорости точек поверхности тела. При заданной же амплитуде самих колебаний амплитуда скорости в свою очередь пропорциональна частоте, так что интенсивность излучения будет пропорциональна

Рассмотрим теперь излучение звука телом, колеблющимся без изменения объема. Тогда в (74,6) остается только второй член, который мы напишем в виде

Как и в предыдущем случае, заключаем, что общий вид решения на всех расстояниях есть

То, что это выражение действительно является решением волнового уравнения, видно из того, что функция удовлетворяет этому уравнению, а потому удовлетворяют ему и производные указанной функции по координатам. Дифференцируя опять только числитель, получаем (для расстояний ):

(74,11)

При вычислении скорости снова надо дифференцировать только А.

Поэтому имеем согласно известным из векторного анализа правилам дифференцирования функций от скалярного аргумента:

и, подставляя получаем окончательно:

(74,12)

Интенсивность излучения будет теперь пропорциональна квадрату косинуса угла между направлением излучения (направление ) и вектором А (такое излучение называют дипольным). Полное же излучение равно интегралу

Опять выбираем в качестве поверхности интегрирования сферу радиуса причем введем сферические координаты с полярной осью вдоль вектора А. Простое интегрирование приводит к окончательной формуле для полного излучения в единицу времени:

(74,13)

Компоненты вектора А являются линейными функциями компонент скорости и тела (см. § 11). Таким образом, интенсивность излучения является здесь квадратичной функцией вторых производных от компонент скорости тела по времени.

Если тело совершает гармоническое колебательное движение с частотой то, подобно предыдущему случаю, заключаем, что интенсивность излучения пропорциональна при заданном значении амплитуды скорости. При заданной же линейной амплитуде колебаний тела амплитуда скорости сама пропорциональна частоте, и потому излучение пропорционально .

Аналогичным образом решается вопрос об излучении цилиндрических звуковых волн пульсирующим или колеблющимся перпендикулярно к своей оси цилиндром произвольного сечения. Выпишем здесь соответствующие формулы, имея в виду их дальнейшие применения.

Рассмотрим сначала пульсационные малые колебания цилиндра, и пусть есть переменная площадь его сечения. На расстояниях от оси цилиндра, таких, что , (l — поперечные размеры цилиндра), получим аналогично (74,8)

(74,14)

где — функция времени (коэффициент при выбран так, чтобы получить правильное значение потока жидкости через коаксиальную цилиндрическую поверхность).

В соответствии с формулой для потенциала расходящейся цилиндрической волны (первый член формулы (71,2)) заключаем теперь, что на всех расстояниях потенциал определяется выражением

При главный член этого выражения совпадает с (74,14), причем автоматически определится также и функция в последнем (предполагаем, что при производная ) достаточно быстро обращается в нуль). При очень же больших значениях (в волновой зоне), основную роль в интеграле, (74,15) играет область значений поэтому в знаменателе подынтегрального выражения можно положить:

и мы получим:

(74,16)

Наконец, скорость для осуществления дифференцирования удобно сделать в интеграле подстановку

после чего пределы интегрирования не будут содержать . Множитель перед интегралом не дифференцируется, так как это дало бы член более высокого порядка по Производя дифференцирование под знаком интеграла и перейдя затем обратно к переменной t, получим:

Интенсивность излучения определится произведением . Обратим внимание на то, что в отличие от сферического случая здесь интенсивность излучения в каждый момент времени определяется всем ходом изменения функции за время от до

Наконец, для поступательных колебаний бесконечного цилиндра в направлении, перпендикулярном к его оси, на расстояниях потенциал имеет вид

(74,18)

где определяется путем решения уравнения Лапласа для обтекания цилиндра несжимаемой жидкостью. Отсюда снова заключаем, что на всех расстояниях

(74,19)

В заключение необходимо сделать следующее замечание. Мы полностью пренебрегали здесь влиянием вязкости жидкости и соответственно этому считали движение в излучаемой волне потенциальным. В действительности, однако, в слое жидкости толщины вокруг колеблющегося тела движение не потенциально (см. § 24). Поэтому для применимости всех полученных формул необходимо, чтобы толщина этого слоя была мала по сравнению с размерами I тела:

(74,20)

Это условие может не выполняться при слишком малых частотах или слишком малых размерах тела.