§ 47. Индуктивное сопротивление

Существенную часть силы сопротивления, испытываемой хорошо обтекаемым крылом (конечного размаха), составляет сопротивление, связанное с диссипацией энергии в тонком турбулентном следе. Это сопротивление называют индуктивным.

В § 21 было показано, каким образом можно вычислить связанную со следом силу сопротивления, рассматривая движение жидкости вдали от тела. Полученная там формула (21,1), однако, в данном случае неприменима. Согласно этой формуле сопротивление определяется интегралом от по площади сечения следа, т. е. расходом жидкости через сечение следа. Но ввиду тонкости следа за хорошо обтекаемым крылом этот расход в данном случае мал, и в рассматриваемом ниже приближении им можно вовсе пренебречь.

Подобно тому как мы поступали в § 21, пишем силу в виде разности полных потоков х-компоненты импульса через плоскости проходящие соответственно значительно позади и значительно впереди тела. Написав три компоненты скорости в виде будем иметь для компоненты плотности потока импульса выражение так что сила сопротивления есть

Ввиду тонкости следа можно пренебречь (в интеграле по плоскости ) интегралом по площади его сечения и, таким образом, интегрировать везде только по области вне следа. Но вне следа движение потенциально и имеет место формула Бернулли

откуда

Пренебречь здесь квадратичными членами (как это было сделано в § 21) нельзя, так как именно ими определяется в данном случае искомая сила сопротивления. Подставляя (47,2) в (47,1), получим:

Разность интегралов от постоянной величины обращается в нуль; исчезает также разность интегралов от поскольку потоки жидкости через переднюю и заднюю плоскости должны быть одинаковыми (расходом жидкости через сечение следа в рассматриваемом приближении пренебрегаем). Далее, отодвигая плоскость достаточно далеко вперед от тела, будем иметь на ней очень малые значения скорости v, так что интегралом от по этой плоскости можно пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обтекаемого крыла скорость вне следа мала по сравнению с Поэтому в интеграле по плоскости можно пренебречь по сравнению с Таким образом, получим:

где интегрирование производится по плоскости , расположенной на большом расстоянии позади тела, причем сечение следа исключается из области интегрирования

Вычисленное таким образом сопротивление хорошо обтекаемого крыла можно выразить через ту же циркуляцию скорости Г, которая определяет и подъемную силу.

Для этого прежде всего заметим, что на достаточно большом расстоянии от тела скорость слабо зависит от координаты и потому можно рассматривать как скорость некоторого двухмерного движения, считая ее не зависящей от вовсе. Удобно ввести в качестве вспомогательной величины функцию тока (§ 10), так что Таким образом,

где интегрирование по вертикальной координате у производится от до и от до — координаты верхней и нижней границ следа; см. рис. 18). Ввиду потенциальности движения вне следа имеем

Применяя к написанному интегралу двухмерную формулу Грина, получаем поэтому:

где интегрирование производится по контуру, огибающему область интегрирования в исходном интеграле — дифференцирование по направлению внешней нормали к контуру). На бесконечности и, следовательно, надо интегрировать по контуру поперечного сечения следа (сечения плоскостью у, z), в результате чего получаем:

Здесь надо интегрировать по ширине следа а стоящая в квадратных скобках разность есть скачок производной при прохождении через след. Замечая, что имеем:

так что

Наконец, воспользуемся известной из теории потенциала формулой

где интегрирование производится по некоторому плоскому контуру, r — расстояние от до точки, в которой разыскивается значение а в квадратных скобках стоит заданный скачок производной от по направлению нормали к контуру.

В нашем случае контуром интегрирования является отрезок оси r, так что для значений функции на оси z можно написать:

Наконец, подставляя это в получим окончательно для индуктивного сопротивления следующую формулу:

(L. Prandtl, 1918). Длина размаха крыла обозначена здесь посредством а начало отсчета выбрано на одном из его концов.

Если увеличить все размеры по оси в некоторое число раз (при неизменных Г), то интеграл (47,4) не изменится. Это показывает, что полное индуктивное сопротивление крыла не изменяется по порядку величины при увеличении его размаха. Другими словами, индуктивное сопротивление, отнесенное к единице длины крыла, падает с увеличением этой длины. В противоположность сопротивлению полная подъемная сила

растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная к единице длины — остается постоянной.

Для фактического вычисления интегралов (47,4) и (47,5) удобен следующий метод. Вместо координаты вводим новую переменную 0 согласно

Распределение же циркуляции задается в виде тригонометрического ряда

Здесь выполнено условие на концах крыла, т. е. при или

Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций получим:

Таким образом, подъемная сила зависит только от первого коэффициента в разложении (47,7). Для коэффициента подъемной силы (46,2) имеем:

где введено отношение размаха крыла к его ширине.

Для вычисления сопротивления перепишем формулу (47,4), произведя в ней однократное интегрирование по частям:

Стоящий здесь интеграл должен быть взят, как легко видеть, в смысле его главного значения.

Элементарное вычисление с подстановкой (47,7) приводит к следующей формуле для коэффициента индуктивного сопротивления:

(47,10)

Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как

относя его, как и коэффициент подъемной силы, к площади крыла в плане.

Задача

Определить минимальное значение индуктивного сопротивления, которое может быть достигнуто при заданных подъемной силе и размахе крыла

Решение. Из формул (47,8) и (47,10) ясно, что минимальное значение при заданном (т. е. заданном ) достигается, если равны нулю все с . При этом

Распределение же циркуляции по размаху крыла дается формулой

Если длина размаха достаточно велика, то движение жидкости вокруг каждого сечения крыла приближенно соответствует плоскому обтеканию бесконечно длинного крыла с таким профилем сечения. В этом случае можно утверждать, что распределение (2) циркуляции осуществляется при эллиптической в плане (в плоскости форме крыла с полуосями и 1/2.