Задачи
1. Определить толщину пограничного слоя вблизи критической точки (см. § 10) на обтекаемом жидкостью теле.
Решение. Вблизи точки остановки скорость жидкости (вне пограничного слоя) является линейной функцией расстояния
от этой точки, так что
Оценка членов уравнений
приводит к выражению,
Таким образом, вблизи критической точки толщина пограничного слоя остается конечной.
2. Определить движение в пограничном слое при конфузорном (см. § 23) течении между двумя пересекающимися плоскостями (К. Pohlhausen, 1921).
Решение. Рассматривая пограничный слой на одной из сторон угла, отсчитываем кординату
вдоль этой стороны от вершины угла О (рис. 8). При течении идеальной жидкости мы имели бы для скорости формулу
, выражающую собой просто сохранение расхода жидкости Q в потоке (а — угол между пересекающимися плоскостями). Таким образом, в правой стороне уравнения (39,5) будет стоять
Легко видеть, что после этого уравнения
станут инвариантными по отношению к преобразованию
с произвольной постоянной а. Это значит, что можно искать
в виде
тоже инвариантном относительно указанного преобразования. Из уравнения непрерывности (39,6) находим, что
после чего из (39,5) получаем для функции
уравнение:
Граничные условия (39,8) означают, что должно быть
Первый интеграл уравнения (1) есть
Поскольку при
функция
стремится к единице, то мы видим, что и f стремится к определенному пределу, и ясно, что этот предел может быть только нулем. Определяя отсюда const, находим