ГЛАВА XI. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА

§ 109. Волна разрежения

Линия пересечения двух ударных волн является в математическом отношении особой линией двух функций, описывающих движение газа. Такой же особой линией является край всякого острого угла на поверхности обтекаемых газом тел. Оказывается возможным исследовать движение газа вблизи особой линии в самом общем виде (L. Prandtl, Th. Meyer, 1908).

Рассматривая область вблизи небольшого участка особой линии, мы можем считать последнюю прямой, которую мы выберем в качестве оси z цилиндрической системы координат . Вблизи особой линии все величины существенным образом зависят от угла Напротив, от координаты они зависят лишь слабо, и при достаточно малых зависимостью от можно вообще пренебречь. Несущественна также зависимость величин от координаты z, — изменением картины течения вдоль небольшого участка особой линии можно пренебречь.

Таким образом, мы должны исследовать стационарное движение, при котором все величины являются функциями только от . Уравнение сохранения энтропии дает откуда , т. е. движение изэнтропично. Поэтому в уравнении Эйлера можно писать вместо . В цилиндрических координатах получаем три уравнения:

Из последнего имеем ; без ограничения общности можно положить и рассматривать движение как плоское, — это сводится просто к соответствующему выбору скорости движения системы координат вдоль оси . Первые два уравнения переписываем в виде

(109,2)

Подставляя (109,1) в (109,2), получаем:

или, интегрируя:

(109.3)

Заметим, что равенство (109,1) означает, что , т. е. движение потенциально; в связи с этим и имеет место уравнение Бернулли (109,3).

Далее, уравнение непрерывности дает

Используя (109,2), получим отсюда:

Но производная которую правильнее писать в виде , есть квадрат скорости звука. Таким образом,

Этому уравнению можно удовлетворить двумя способами. Во-первых, может быть

Тогда из (109,2) имеем , а из (109,3) получаем, что и , т. е. скорость постоянна по абсолютной величине. Легко видеть, что и направление скорости в этом случае постоянно. Угол образуемый скоростью с некоторым заданным направлением в плоскости движения, равен (рис. 96)

Рис. 96

Дифференцируя это выражение по ф и используя (109,1—2), получаем после простого преобразования:

При имеем, действительно, .

Таким образом, приравнивая нулю первый множитель в (109,5), мы получаем просто тривиальное решение — однородный поток.

Во-вторых, уравнению (109,5) можно удовлетворить, положив т. е. Радиальная же скорость определится из (109,3). Обозначая в этом уравнении посредством получаем:

В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляющая скорости в каждой точке равна по величине местной скорости звука. Полная же скорость следовательно, больше скорости звука. Как абсолютная величина скорости, так и ее направление меняются от точки к точке. Поскольку скорость звука не может пройти через нуль, то ясно, что непрерывная функция должна быть равна везде или же везде —с. Выбирая соответствующим образом направление отсчета угла мы можем условиться считать, что . Что касается выбора знака у то мы увидим ниже, что он диктуется физическими соображениями и должен быть положительным. Таким образом:

(109,8)

Из уравнения непрерывности (109,4) имеем Подставив сюда (109,8) и интегрируя, получим:

Если известно уравнение состояния газа и уравнение адиабаты (напомним, что ), то с помощью этой формулы можно определить зависимость всех величин от угла Таким образом, формулы (109,8-9) полностью определяют движение газа.

Займемся теперь более подробным изучением полученного решения. Прежде всего заметим, что прямые пересекают в каждой точке линии тока под углом Маха (его синус равен ), т. е. являются характеристиками. Таким образом, одно из двух семейств характеристик (в плоскости представляет собой пучок выходящих из особой точки прямых и обладает в данном случае важным свойством — вдоль каждой из них все величины остаются постоянными. В этом смысле рассматриваемое решение играет в теории плоского стационарного движения такую же роль, какую играет изученное в § 99 автомодельное движение в теории нестационарных одномерных течений. Мы вернемся еще к этому вопросу в § 115.

Из (109,9) видно, что обозначает дифференциро-. вание по Написав

и замечая, что производная положительна (см. (99,9)), мы находим, что производная вместе с нею отрицательны и производные

Далее, из того, что производная до отрицательна, следует, что абсолютная величина скорости — возрастающая функция Наконец, из (109,7) следует, что Таким образом, получаем следующие неравенства:

Другими словами, в направлении обхода вокруг особой точки, совпадающем с направлением обтекания, плотность и давление падают, а вектор скорости возрастает по абсолютной величине и поворачивается в направлении обхода.

Описанное движение часто называют волной разрежения; ниже мы будем пользоваться этим термином.

Легко видеть, что волна разрежения не может иметь места во всей области вокруг особой линии. Действительно, поскольку v есть монотонно возрастающая функция то при полном обходе вокруг начала координат (т. е. при изменении на ) мы получили бы для v значение, отличное от исходного, что нелепо. Ввиду этого истинная картина движения вокруг особой линии должна представлять собой совокупность секториальных областей, разделённых плоскостями , являющимися поверхностями разрывов. В каждой из таких областей происходит либо движение, описываемое волной разрежения, либо движение с постоянной скоростью. Число и характер этих областей для различных конкретных случаев будут установлены в следующих параграфах. Сейчас укажем лишь, что граница между волной разрежения и областью однородного течения должна быть непременно слабым разрывом. Действительно, эта граница не может быть тангенциальным разрывом (разрывом скорости ), так как на ней не обращается в нуль нормальная к ней компонента скорости Она не может также быть ударной волной, так как нормальная компонента скорости по одну сторону от такого разрыва должна была бы быть больше, а по другую — меньше скорости звука, между тем как в данном случае с одной из сторон границы мы во всяком случае имеем

Из сказанного можно вывести важное следствие. Возмущения, вызывающие образование слабых разрывов, исходят от особой линии (оси ) и распространяются по направлению от нее. Это зкачит, что ограничивающие волну разрежения слабые разрывы должны быть «исходящими» по отношению к этой линии, т. е. компонента скорости касательная к слабому разрыву должка быть положительна. Таким образом, мы оправдали сделанный в (109,8) выбор знака у

Применим теперь полученные формулы к политропному газу. В таком газе уравнение же адиабаты Пуассона можно написать в виде

(109,11)

(ср. (99,13)). Пользуясь этими формулами, представим интеграл (109,9) в виде

где с — критическая скорость (см. (83,14)). Отсюда

или, выбирая начало отсчета так, чтобы было

(109,12)

Согласно формуле (109,8) получаем отсюда:

(109,13)

Далее, воспользовавшись уравнением адиабаты Пуассона в виде (109,11), находим зависимость давления от угла

(109,14)

Наконец, для угла имеем:

(109,15)

(угол отсчитывается от того же направления, от которого отсчитывается ).

Поскольку должно быть то угол в этих формулах может меняться только в пределах между где

Это значит, что волна разрежения может занимать сектор с углом раствора, не превышающим фшах; так, для двухатомного газа (воздух) этот угол равен 219,3°. При изменении от 0 до фшах угол меняется от до фшах. Таким образом, направление скорости в волне разрежения может повернуться на угол, не превышающий (для воздуха 129,3°).

При фгаах давление обращается в нуль. Другими словами, если волна разрежения простирается вплоть до этого угла, то ограничивающий ее с этой стороны слабый разрыв представляет собой границу с вакуумом.

Рис. 97

При этом он, естественно, совпадает с одной из линий тока; имеем здесь:

т. е. скорость направлена по радиусу и достигает своего предельного значения (см. § 83).

Рис. 98

На рис. 97 даны графики величин как функции угла для воздуха

Полезно заметить форму, которую имеет определяемая формулами (109,12-13) кривая в плоскости (так называемый годограф скоростей). Это — дуга эпициклоиды, построенной жду окружностями радиусов (Рис. 98) .