Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 134. Релятивистские гидродинамические уравненияУравнения движения содержатся, как известно, в уравнениях
выражающих собой законы сохранения энергии и импульса той физической системы, к которой относится тензор Для формулирования уравнения, выражающего сохранение числа частиц в жидкости (уравнения непрерывности), введем
где Уравнение непрерывности выражается просто равенством нулю 4-дивергенции вектора тока:
Возвратимся к уравнениям (134,1). Дифференцируя выражение (133,2), получим
Заменив тождественно
Согласно известному термодинамическому соотношению для тепловой функции имеем
(Т — температура, а — энтропия, отнесенная к единице собственного объема). Отсюда видно, что выражение в квадратных скобках есть производная Опустив множитель
выражающему адиабатичность движения жидкости
т. е. как равенство нулю 4-дивергенции потока энтропии Спроецируем теперь уравнение (134,1) на направление, нормальное к
(выражение в левой стороне тождественно обращается в ноль при скалярном умножении на
Три пространственные компоненты этого уравнения представляют собой релятивистское обобщение уравнения Эйлера (временная же компонента есть следствие первых трех). Уравнение (134,9) может быть представлено в другом виде в случае изэнтропического движения (подобно преобразованию от (2,3) к (2,9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При
и уравнение (134,9) принимает вид
Если движение к тому же еще и стационарно (все величины не зависят от времени), то пространственные компоненты (134.10) дают
Умножив это уравнение скалярно на v, после простых преобразований получим
Это — релятивистское обобщение уравнения Бернулли. Не предполагая изэнтропическое течение стационарным, легко видеть, что уравнения (134,10) имеют решения вида
где
умножив это равенство скалярно на
Первое из них в нерелятивистском пределе дает обычное условие потенциальности, а второе — уравнение (9,3) (с соответствующим переобозначением Рассмотрим распространение звука в среде с релятивистским уравнением состояния (т. е. в котором давление сравнимо с плотностью внутренней энергии, включающей в себя энергию покоя). Гидродинамические уравнения звуковых волн могут быть линеаризованы; при этом удобнее исходить непосредственно из записи уравнений движения в исходном виде (134,1), а не из эквивалентных им уравнений (134,8-9). Подставив выражения (133,3) компонент тензора энергии-импульса и сохранив везде лишь величины первого порядка малости по амплитуде волны, получим систему уравнений
где штрихом отмечены переменные части величин в волне. Исключив отсюда v, найдем:
Наконец, написав
(индекс «ад» указывает, что производная должна быть взята для адиабатического процесса, т. е. при постоянном Наконец, скажем несколько слов о гидродинамических уравнениях при наличии существенных гравитационных полей, т. е. в общей теории относительности. Они получаются из уравнений (134,8-9) просто путем замены обычных производных ковариантными
Выведем из этих уравнений условие механического равновесия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное поле статично; можно выбрать такую систему отсчета, в которой вещество неподвижно
или
Это и есть искомое уравнение равновесия. В нерелятивистском предельном случае (
т. е. в обычное гидростатическое уравнение.
|
1 |
Оглавление
|