Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 88. Эволюционность ударных волнВывод неравенств (87,1-4) в §§ 86, 87 был связан с определенным предположением о термодинамических свойствах среды с положительностью производной
для скоростей могут быть получены также и из совершенно иных соображений, показывающих, что ударные волны с нарушенными условиями (88,1) все равно не могли бы существовать, даже если бы это не противоречило изложенным выше чисто термодинамическим соображениям. Именно необходимо исследовать еще вопрос об устойчивости ударных волн. Наиболее общее необходимое условие устойчивости состоит в требовании, чтобы любое бесконечно малое возмущение начального (в некоторый момент Последняя оговорка означает недостаточность указанного условия; так, если начальное малое возмущение возрастает даже экспоненциально (как Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованных граничных условий, которые должны удовлетворяться на поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых Рассмотрим возмущение ударной волны, представляющее собой ее бесконечно малое смещение в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Оно сопровождается бесконечно малым возмущением также и других величин — давления, скорости и т. д. газа по обеим сторонам поверхности разрыва. Эти возмущения, возникнув вблизи волны, будут затем распространяться от нее, переносясь (относительно газа) со скоростью звука; это не относится лишь к возмущению энтропии, которое будет переноситься только с самим газом. Таким образом, произвольное возмущение данного типа можно рассматривать как совокупность звуковых возмущений, распространяющихся в газах 1 и 2 по обе стороны ударной волны, и возмущения энтропии; последнее, перемещаясь вместе с газом, будет, очевидно, существовать лишь в газе 2 позади ударной волны. В каждом из звуковых возмущений изменения всех величин связаны друг с другом определенными соотношениями, следующими из уравнений движения (как в любой звуковой волне; § 64); поэтому каждое такое возмущение определяется всего лишь одним параметром. Подсчитаем теперь число возможных звуковых возмущений. Оно зависит от относительной величины скоростей газа Предположим, что
Рис. 57 Результат изображен на рис. 57, где каждая стрелка соответствует одному звуковому возмущению, распространяющемуся относительно газа в указываемую стрелкой сторону. Каждое же звуковое возмущение определяется, как было выше указано, одним параметром. Кроме того, во всех четырех случаях имеется еще по два параметра: параметр, определяющий распространяющееся в газе 2 возмущение энтропии, и параметр, определяющий самое смещение ударной волны. Для каждого из четырех случаев на рис. 57 цифрой в кружке указано получающееся таким образом полное число параметров, определяющих произвольное возмущение, возникающее при смещении ударной волны. С другой стороны, число необходимых граничных условий, которым должно удовлетворять возмущение на поверхности разрыва, равно трем (условия непрерывности потоков массы, энергии и импульса). Во всех изображенных на рис. 57 случаях, за исключением лишь первого, число имеющихся независимых параметров превышает число уравнений. Мы видим, что эволюционны лишь ударные волны, удовлетворяющие условиям (88,1). Эти условия, таким образом, необходимы для существования ударных волн, вне зависимости от термодинамических свойств среды. Искусственно созданный разрыв, не удовлетворяющий этим условиям, немедленно распался бы на другие разрывы. Эволюционная ударная волна устойчива по отношению к рассмотренному типу возмущений и в обычном смысле этого слова. Если искать смещение ударной волны (а с ним и возмущения всех остальных величин) в виде, пропорциональном Мы вернемся к вопросу об устойчивости ударных волн в § 90.
|
1 |
Оглавление
|