Задачи

1. Определить полную интенсивность излучения звука шаром, совершающим поступательные малые (гармонические) колебания с частотой причем длина волны сравнима по величине с радиусом R шара.

Решение. Скорость шара пишем в виде тогда зависит от времени тоже посредством множителя и удовлетворяет уравнению где Ищем решение в виде (начало координат выбрано в точке нахождения центра шара в данный момент времени). Для получаем уравнение откуда . С точностью до несущественной аддитивной постоянной имеем отсюда Постоянная А определяется из условия при , и в результате получаем

Излучение имеет дипольный характер. На достаточно больших расстояниях от шара можно пренебречь единицей по сравнению с приобретает вид (74,11) с вектором А, равным

Замечая, что получаем для полного излучения согласно (74,13):

При это выражение переходит в

(это может быть получено и непосредственно подстановкой в (74,13) выражения из задачи 1 § 11). При имеем:

что соответствует формуле (74,4).

Действующая на шар сила сопротивления жидкости получается интегрированием проекции сил давления на направление и по поверхности шара и равна

смысле комплексной силы сопротивления см. конец § 24).

2. То же, если радиус R шара сравним по величине с (но в то же время ).

Решение. Если размеры тела невелики по сравнению с то для определения излучаемой волны надо исходить не из уравнения а из уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. Соответствующее решение этого уравнения для шара определяется формулами (1), (2) в задаче 5 § 24. При переходе к большим расстояниям первый член в (1), экспоненциально затухающий с , можно опустить. Второй же член приводит к скорости

Сравнение с (74,6) показывает, что

где т. е. отличается от соответствующего выражения для йдеальной жидкости множителем, стоящим в скобках. В результате получаем:

При и это выражение переходит в приведенную в задаче 1 формулу, а при получаем:

т. е. излучение пропорционально не четвертой, а второй степени частоты.

3. Определить интенсивность излучения звука сферой, совершающей малые (гармонические) пульсационные колебания с произвольной частотой.

Решение. Ищем звуковую волну в виде

( — равновесный радиус шара) и определяем постоянную а из условия

где — радиальная скорость точек поверхности сферы:

Интенсивность излучения:

При

в соответствии с (74,10), а при

в соответствии с (74,4).

4. Определить волну, излучаемую шаром (радиуса R), совершающим малые пульсационные колебания; радиальная скорость точек его поверхности есть произвольная функция времени

Решение. Решение ищем в виде где и определяем f из граничного условия которое приводит к уравнению

Решая это линейное уравнение и заменяя в решении аргумент t на , получаем:

Если колебания шара прекращаются, например, в момент времени при то на расстоянии от центра, начиная с момента времени потенциал как функция времени будет иметь вид , т. е. движение будет затухать экспоненциально.

Пусть Т — время, в течение которого происходит существенное изменение скорости Если е. длина излучаемых волн , то в (1) можно вынести медленно меняющийся множитель из-под знака интеграла, заменив его на На расстояниях получим тогда:

что совпадает с формулой (74,8). Если же то аналогично получаем:

что соответствует формуле (74,4).

5. Определить движение, возникающее в идеальной сжимаемой жидкости при произвольном поступательном движении в ней шара радиуса R (скорость движения мала по сравнению со скоростью звука).

Решение. Ищем решение в виде

( — расстояние от начала координат, выбранного в точке нахождения центра шара в момент времени ); поскольку скорость шара и мала по сравнению со скоростью звука, то эффектом перемещения начала координат можно пренебречь).

Скорость жидкости

( — единичный вектор вдоль направления г; означает дифференцирование f по его аргументу). Граничное условие при откуда

Решая это уравнение методом вариации постоянных, получаем для функции общее выражение:

При подстановке в (1) здесь надо писать t вместо . В качестве нижнего предела выбрано так, чтобы было при

6. Шар радиуса R в момент времени начинает двигаться с постоянной скоростью Определить возникающее в момент начала движения звуковое излучение.

Решение. Полагая в формуле (3) задачи при при и подставляя в формулу (2) (сохранив в последней только последний, наименее быстро убывающий с расстоянием член), найдем скорость движения жидкости вдали от шара:

. Полная интенсивность излучения будет убывать со временем по закону

Всего за все время будет излучена энергия

7. Определить интенсивность излучения звука бесконечным цилиндром (радиуса R), совершающим пульсационные гармонические колебания; длина волны

Решение. Согласно формуле (74,14) находим сначала, что на расстояниях (в задачах — расстояние от оси цилиндра) потенциал

где — скорость точек поверхности цилиндра. Из сравнения с формулами (71,7) и (71,8) находим теперь, что на больших расстояниях потенциал будет иметь вид

Отсюда скорость

( — единичный вектор, перпендикулярный к оси и интенсивность излучения (на единицу длины цилиндра)

8. Определить излучение звука цилиндром, совершающим гармонические поступательные колебания в направлении, перпендикулярном к своей оси.

Решение. На расстояниях имеем:

(ср. формулу (74,18) и задачу 3 § 10). Отсюда заключаем, что на больших расстояниях

откуда скорость

Интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату косинуса угла между направлениями колебаний и излучения. Полная интенсивность

9. Определить интенсивность излучения звука от плоской поверхности с периодически колеблющейся температурой, частота колебаний где — температуропроводность жидкости.

Решение. Пусть переменная часть температуры поверхности есть . Эти колебания температуры создают в жидкости затухающую тепловую волну (52,15):

в результате чего будет испытывать колебания и плотность жидкости:

где — температурный коэффициент расширения. Это в свою очередь приводит к возникновению движения, определяющегося уравнением непрерывности:

На твердой поверхности скорость а при удаления от нее стремится к пределу

Это значение достигается на расстояниях малых по сравнению с и служит граничным условием для возникающей звуковой волны. Отсюда находим интенсивность излучения звука с 1 см2 поверхности:

10. Точечный источник, излучающий сферическую волну, находится на расстоянии l от твердой (полностью отражающей звук) стенки, ограничивающей заполненное жидкостью полупространство. Определить отношение полной интенсивности излучаемого источником звука к интенсивности излучения, которое имело бы место в неограниченной среде, а также зависимость интенсивности от направления на больших расстояниях от источника.

Рис. 49

Решение. Совокупность излучаемой и отраженной от стенки волн описывается решением волнового уравнения, удовлетворяющим условию равенства нулю нормальной скорости на стенке. Таким решением является

(постоянный множитель для краткости опускаем), где — расстояние от источника звука О (рис. 49), а — расстояние от точки О, расположенной относительно поверхности стенки симметрично с О. На больших расстояниях от источника имеем: так что

Зависимость интенсивности излучения от направления определяется здесь множителем

Для определения полной интенсивности излучения интегрируем поток энергии

(см. (65,4)) по поверхности сферы сколь угодно малого радиуса с центром в точке О. Это дает

В неограниченной же среде мы имели бы чисто сферическую волну с полным потоком энергии . Таким образом, искомое отношение интенсивностей равно

11. То же в жидкости, ограниченной свободной поверхностью.

Решение. На свободной поверхности должно выполняться условие в монохроматической волне это эквивалентно требованию Соответствующее решение волнового уравнения есть

На больших расстояниях от источника интенсивность излучения определяется множителем

Искомое соотношение интенсивностей равно