Задачи

1. Определить течение жидкости по трубе с кольцевым сечением (внутренний и внешний радиусы трубы ).

Решение. Определяя постоянные а и b в общем решении (17,8) из. условий при находим:

Количество протекающей жидкости равно

2. To же для трубы эллиптического сечения.

Решение. Ищем решение уравнения (17,7) в виде . Постоянные А, В, С определяем из требования, чтобы это выражение удовлетворяло уравнению и граничному условию на контуре сечения (т. е. уравнение должно совпадать с уравнением контура где а, b — полуоси эллипса).

В результате получаем

Для количества протекающей жидкости получаем:

3. То же для трубы с сечением в виде равностороннего треугольника сторона треугольника а).

Решение. Обращающееся в нуль на треугольном контуре решение уравнения (17,7) есть

где — длины трех высот, опущенных из данной точки треугольника на три его стороны. Действительно, каждое из выражений (где ) равно нулю; это видно хотя бы из того, что каждую из высот можно выбрать в качестве одной из координат у или , а при применении оператора Лапласа к координате получается нуль. Поэтому имеем:

где — единичные векторы вдоль направлений высот Каждые два из образуют друг с другом угол так что

и т. д., и мы получаем соотношение

с помощью которого убеждаемся в выполнении уравнения (17,7). Количество протекающей жидкости равно

Цилиндр радиуса движется со скоростью и внутри коаксиального с ним цилиндра радиуса параллельно своей оси; определить движение жидкости, заполняющей пространство между цилиндрами.

Решение. Выбираем цилиндрические координаты с осью z по оси цилиндра. Скорость направлена везде вдоль оси z и зависит (как и давление) только от :

Для v получаем уравнение

(член исчезает тождественно). Используя граничные условия и при при получаем:

Сила трения, действующая на единицу длины каждого из цилиндров, равна

5. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом а к горизонту. Определить движение жидкости, возникающее под влиянием поля тяжести.

Решение Выбираем неподвижную нижнюю плоскостьв качестве плоскости х, у, ось направлена по направлению течения жидкости, а ось z — перпендикулярно к плоскости у (рис. 6). Ищем решение, зависящее только от координаты z. Уравнения Навье — Стокса с при наличии поля тяжести гласят:

Рис. 6

На свободной поверхности ) должны выполняться условия

( — атмосферное давление). При должно быть Удовлетворяющее этим условиям решение есть

Количество жидкости, протекающее в единицу времени через поперечное сечение слоя (отнесенное к единице длины вдоль оси у):

в. Определить закон падения давления вдоль трубки кругового сечения, по которой происходит изотермическое течение вязкого идеального газа (иметь в виду, что динамическая вязкость идеального газа не зависит от его давления).

Решение. В каждом небольшом участке трубки газ можно считать несжимаемым (если только градиент давления не слишком велик) и соответственно этому можно применить формулу (17,10), согласно которой

На больших расстояниях, однако, будет меняться, и давление не будет линейной функцией от Согласно уравнению Клапейрона плотность газа ( — масса молекулы), так что

(расход газа Q через все сечение трубки должен быть, очевидно, одинаковым вне зависимости от того, является ли газ несягтшаемым или нет). Отсюда получаем:

— давления на концах участка трубки длины