§ 19. Закон подобия

При изучении движения вязких жидкостей можно получить ряд существенных результатов из простых соображений, связанных с размерностью различных физических величин. Рассмотрим какой-нибудь определенный тип движения. Этим типом может быть, например, движение тела определенной формы через жидкость.

Если тело не является шаром, то должно быть также указано, в каком направлении оно движется, например, движение эллипсоида в направлении его большой оси или в направлении его малой оси и т. п. Далее, речь может идти о течении жидкости по области, ограниченной стенками определенной формы (по трубе определенного сечения и т. п.).

Телами одинаковой формы мы называем при этом тела геометрически подобные, т. е. такие, которые могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинаковое число раз. Поэтому если форма тела задана., то для полного определения размеров тела достаточно указать какой-нибудь один из его линейных размеров (радиус шара или цилиндрической трубы, одну из полуосей эллипсоида вращения с заданным эксцентриситетом и т. п.).

Мы будем рассматривать сейчас стационарные движения. Поэтому если речь идет, например, об обтекании твердого тела жидкостью (ниже мы говорим для определенности о таком случае), то скорость натекающего потока жидкости должна быть постоянной. Жидкость мы будем предполагать несжимаемой.

Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидродинамические уравнения (уравнение Навье — Стокса) входит только кинематическая вязкость неизвестными же функциями, которые должны быть определены решением уравнений, являются при этом скорость v и отношение давления к постоянной . Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров движущегося в жидкости тела и от его скорости. Поскольку форма тела считается заданной, то его геометрические свойства определяются всего одним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим посредством I. Скорость же натекающего потока пусть будет и.

Таким образом, каждый тип движения жидкости определяется тремя параметрами: v, и, I. Эти величины обладают размерностями:

Легко убедиться в том, что из этих величин можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, именно, . Эту комбинацию называют числом Рейнольдса и обозначают посредством

Всякий другой безразмерный параметр можно написать в виде функции от .

Будем измерять длины в единицах I, а скорости — в единицах , т. е. введем безразмерные величины

Поскольку единственным безразмерным параметром является число Рейнольдса, то ясно, что получающееся в результате решения гидродинамических уравнений распределение скоростей определяется функциями вида

Из этого выражения видно, что в двух различных течениях одного и того же типа (например, обтекание шаров различного радиуса жидкостями различной вязкости) скорости являются одинаковыми функциями отношения если только числа Рейнольдса для этих течений одинаковы. Течения, которые могут быть получены друг из друга простым изменением масштаба измерения координат и скоростей, называются подобными. Таким образом, течения одинакового типа с одинаковым числом Рейнольдса подобны — так называемый закон подобия (О. Reynolds, 1883).

Аналогичную (19,2) формулу можно написать и для распределения давления в жидкости. Для этого надо составить из параметров и какую-нибудь величину с размерностью давления, деленного на ; в качестве такой величины выберем, например, Тогда можно утверждать, что будет функцией от безразмерной переменной и безразмерного параметра R. Таким образом,

Наконец, аналогичные соображения применимы к величинам, характеризующим течение жидкости, но не являющимся уже функциями координат. Таковой является, например, действующая на обтекаемое тело сила сопротивления F. Именно, можно утверждать, что безразмерное отношение F к составленной из величине размерности силы должно быть функцией только от числа Рейнольдса. В качестве указанной комбинации из можно взять, например, произведение . Тогда

Если влияние силы тяжести на движение существенно, то движение определяется не тремя, а четырьмя параметрами: l, u и v и ускорением силы тяжести g. Из этих параметров можно составить уже не одну, а две независимые безразмерные комбинации. В качестве их можно, например, выбрать число Рейнольдса и число Фруда, равное

В формулах (19,2-4) функция f будет зависеть теперь не от одного, а от двух параметров (R и F), и течения являются подобными лишь при равенстве обоих этих чисел.

Наконец, скажем несколько слов о нестационарных движениях. Нестационарное движение определенного типа характеризуется наряду с величинами еще значением какого-либо характерного для этого движения интервала времени , определяющего изменение движения со временем. Так, при колебаниях погруженного в жидкость твердого тела определенной формы этим временем может являться период колебаний. Из четырех величин можно опять составить не одну, а две независимые безразмерные величины, в качестве которых можно взять число Рейнольдса и число

называемое иногда числом Струхала (Strouhal). Подобие движений имеет место в таких случаях при равенстве обоих этих чисел.

Если колебания в жидкости возникают самопроизвольно (а не под влиянием заданной внешней вынуждающей силы), то для движения определенного типа число S будет определенной функцией числа