§ 22. Вязкость суспензий

Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью , отличной от вязкости основной жидкости. Эта вязкость мэжет быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных чгстиц (т. е. суммарный объем всех частиц предполагается, малым по сравнению с объёмом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц (А. Эйнштейн, 1906).

В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погруженный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее постоянным градиентом скорости.

Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей

где — постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости при этом постоянно: ; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости тензор а, должен иметь равный нулю след:

Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса R. Скорость измененного им течения обозначим посредством на бесконечности должно обращаться в нуль, но вблизи шарика отнюдь не мало по сравнению с Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: при

Искомое решение уравнений движения (20,1-3) может быть получено непосредственно из найденного в § 20 решения (20,4) (с функцией f из (20,6)), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора (а не от вектора и, как в § 20). Таковым является

где обозначает вектор с компонентами Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные а и b в функции так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления:

(22,3)

(n — единичный вектор в направлении радиус-вектора).

Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений —

Интегрирование можно производить здесь по объему V сферы большого радиуса, который затем устремляем к бесконечности.

Прежде всего пишем тождественно:

В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследования внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравнений движения имеет место тождество

поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает

Член с мы опустили, имея в виду, что среднее давление непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора но единственный такой скаляр

При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (22,3) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены — Простое вычисление дает для этого интеграла

где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора . Производя усреднение, получим окончательно:

Первое слагаемое в (22,6) после подстановки в него из (22,1) дает член же первого порядка малости в этом слагаемом тождественно обращается в нуль после усреднения по направлениям (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в (22,5) интеграле). Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии определяется отношением второго члена в (22,6) к первому. Таким образом, получим

где — малое отношение суммарного объема всех шариков к полному объему суспензии.

Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения аналогичные вычисления и окончательные формулы становятся очень громоздкими. Приведем для иллюстрации числовые значения поправочного коэффициента А в формуле

для нескольких значений отношения (а и b = с — полуоси эллипсоидов):

Поправка возрастает по обе стороны от значения отвечающего сферическим частицам.