§ 7. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ПОЛЯ

Рассмотрим сначала уединенный проводник, находящийся достаточно далеко от других тел. Если этому проводнику сообщить заряды после их перераспределения по объему проводника он приобретает потенциалы Отношение для данного уединенного проводника оказывается постоянным, зависящим только от его формы и размеров, и называется его электроемкостью. Это отношение сохраняется и при бесконечно малых изменениях заряда и потенциала, так что

Понятие электроемкости применимо только к проводникам, так как для них существует равновесное распределение зарядов по объему тела, при котором все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Если же заряд сообщается изолятору, то он не растекается по нему и поэтому в различных местах изолятора потенциал может быть различен (в зависимости от расстояний до того места, где находится подведенный заряд).

Емкость уединенного шара радиуса находящегося в безграничном диэлектрике с проницаемостью легко рассчитать, так как потенциал на его поверхности (а следовательно, и в любой точке его объема)

В системе в

При наличии вблизи данного проводника других тел — проводников или изоляторов — отношение (1.58) зависит также от формы, размеров и относительного расположения соседних тел. Если эти соседние тела — проводники, то в них происходит перераспределение свободных зарядов, электрическое поле которых накладывается на поле данного тела и изменяет его потенциал. Если же соседние тела — диэлектрики, то они поляризуются, вследствие чего на поле данного тела накладывается поле связанных зарядов диэлектрика; это опять-таки изменяет потенциал рассматриваемого проводника.

Таким образом, при наличии соседних тел данный проводник при сообщении ему заряда приобретает иной потенциал, чем при их отсутствии.

Понятие электроемкости можно применять и к системе проводников; простейшей из них является система из двух одинаковых близко расположенных проводников, которым сообщаются равные и противоположные по знаку заряды. В частности, рассмотрим плоский конденсатор состоящий из двух близко расположенных параллельных металлических пластинок (обкладок); при сообщении обкладкам конденсатора зарядов они приобретают потенциалы Электроемкостью конденсатора называется отношение заряда на одной из его обкладок (по абсолютному значению, без учета знака) к

разности потенциалов между обкладками:

Допустим, что расстояние между обкладками настолько мало, что электрическое поле между ними можно считать однородным; напряженность этого поля, согласно формуле (1.36),

где площадь обкладок; поверхностная плотность зарядов на обкладках. Для однородного поля выполняется соотношение (1.45), поэтому

Подставив это выражение в формулу (1.60), получаем формулу Для расчета емкости плоского (двухпластинчатого) конденсатора:

У шарового конденсатора потенциалы на обкладках определяются зарядами которые имеются на этих обкладках, и их радиусами и

поэтому формула для расчета емкости такого конденсатора имеет вид

где величина зазора между обкладками. Если радиусы обкладок очень велики и мало, то можно положить (площадь обкладок) и тогда полученная формула будет совпадать с (1.61).

У цилиндрического конденсатора определяется емкость, приходящаяся на единицу длины. Выведем сначала формулу для разности потенциалов между обкладками; согласно формулам (1.32), (1.13) и (1.39), имеем:

(Интегрирование ведем вдоль перпендикуляра к оси конденсатора, т. е. вдоль направления силовой линии вектора очень длинного цилиндрического конденсатора вектор напряженности поля в зазоре перпендикулярен оси конденсатора: это условие не соблюдается на концах, но этим обстоятельством для достаточно длинных конденсаторов можно пренебречь.) Так как на единице длины каждой обкладки имеется заряд то «погонная» емкость цилиндрического конденсатора будет равна

Если величина зазора очень мала, то По этой формуле рассчитываетсямкость электрического кабеля, состоящего из внутреннего провода и наружной металлической брони, между которыми находится слой диэлектрика.

В электротехнике приходится рассчитывать емкость двухпроводной линии — системы из двух параллельных проводов (обычно круглого сечения). Обозначим

диусы сечений этих проводов через расстояние между осями проводов — через а и допустим, что . В этомслучае поле вокруг каждого провода можно с удовлетворительным приближением рассчитывать по формуле (1.34). Допустим, что на единице длины одного провода находится заряд а другого . В некоторой точке, расположенной на расстоянии х от оси первого провода, суммарная напряженность поля будет равна

Интегрируя вдоль перпендикуляра, соединяющего оси проводников, получим разность потенциалов между проводами:

Следовательно, погонная емкость двухпроводной линии будет равна

Так как было предположено, что расстояние между проводами значительно больше радиуса их сечений, то

В приведенных выше расчетных формулах для электроемкости при использовании системы следует положить а в Международной системе В частности, для плоского конденсатора:

Электроемкость выражается в фарадах В системе единицей электроемкости является сактиметр:

Так как заряда, потенциала, то см.

Рассмотрим параллельное (рис. II 1.26, а) и последовательное (рис. III.26, б) соединения конденсаторов. Если к точкам параллельно соединенных конденсаторов подвести равные и противоположные заряды то они распределятся между обкладками конденсаторов так, что Разность же потенциалов между обкладками всех конденсаторов будет одна и та же (так как они соединены вместе проводниками); обозначим через Емкостью такой системы конденсаторов называется отношение

Однако отношение емкость первого конденсатора, емкость второго и т. д. Следовательно,

Можно показать, что обычный многопластинчатый плоский конденсатор с числом пластин представляет собой параллельное соединение плоских двухпластинчатых конденсаторов, поэтому

Если к точкам последовательно соединенных конденсаторов подвести заряды то вследствие электростатической индукции на обкладках конденсаторов появятся равные и противоположные по знаку заряды При этом пластинки соседних конденсаторов, соединенные между собой проводником, имеют одинаковый потенциал.

Рис. III.26

Так как разность потенциалов на концах любой линии равна сумме разностей потенциалов на отдельных участках этой линии, то для линии проходящей через электрические поля соединенных конденсаторов, можно написать:

Емкостью этой системы конденсаторов по-прежнему называется отношение

Так как для первого конденсатора для второго то

Заметим интересную деталь: если между обкладками плоского конденсатора поместить несколько металлических пластинок, расположенных параллельно обкладкам (т. е. вдоль эквипотенциальных поверхностей), и если суммарный зазор между ними равен первоначальному зазору то емкость конденсатора не изменится. Действительно, такой конденсатор можно рассматривать как систему последовательно соединенных плоских конденсаторов, поэтому, применив формулу (1.64) и (1.67), получим

т. е. первоначальная емкость конденсатора не изменилась. В частности, емкость конденсатора не изменится, если вдоль эквипотенциальных поверхностей поместить металлические пластинки бесконечно малой толщины.

Если между обкладками плоского конденсатора имеются различные диэлектрики, как это показано на рис. II 1.26, в, а, то для расчета емкости такого конденсатора можно воспользоваться формулами (1.65) и (1.67). Конденсатор (рис. II 1.26, в) можно представить как систему из параллельно соединенных конденсаторов, имеющих одинаковые расстояния между пластинами, но различные и , и тогда

Конденсатор (рис. II 1.26, г) можно представить как систему последовательно соединенных плоских конденсаторов; так как введение или удаление бесконечно тонких металлических пластинок, параллельных обкладкам, не изменяет емкости конденсатора, то эти пластинки можно расположить вдоль границ между диэлектриками. Тогда, воспользовавшись формулами (1.61) и (1.67), получим

Если то эта формула перейдет в (1.61).

Для того чтобы сообщить проводнику некоторый заряд необходимо затратить определенную работу, так как каждая последующая порция подводимого заряда испытывает отталкивающее действие ранее поступивших на проводник одноименных зарядов. Допустим, что очередная порция заряда подводится из бесконечности, где потенциал к проводнику, имеющему уже потенциал Тогда элементарная работа, затрачиваемая на подведение заряда

Для определения всей работы, затрачиваемой на сообщение проводнику некоторого заряда надо просуммировать все эти элементарные работы:

Это выражение для работы можно видоизменить, если воспользоваться соотношением

Знак минус указывает, что для зарядки тела необходимо совершить некоторую внешнюю работу А. При разрядке электрическое поле заряженного тела само совершает работу, равную Таким образом, формула

выражает энергию заряженного проводника. Аналогичная формула получается и для заряженного конденсатора, причем означает разность потенциалов между клеммами конденсатора (или системы конденсаторов).

Энергию плоского конденсатора можно выразить через напряженность поля между обкладками. Подставим в формулу (1.68), тогда

Произведение выражает объем электрического поля между обкладками конденсатора, а отношение которое обозначим через есть энергия конденсатора, приходящаяся на единицу объема его электрического поля:

В системе в

Полагая, что энергия заряженных тел есть энергия их электрического поля, величину можно назвать объемной плотностью энергии электрического поля.

Заметим, что постоянную принято выражать не в

Воспользуемся формулой для плотности энергии электрического поля и рассчитаем энергию, которая содержится в электрическом поле заряженного шара радиуса . В тонком слое, ограниченном сферами радиусов будет содержаться энергия Если заряд шара равен как напряженность поля на расстоянии от центра шара равна то

Эта формула показывает, что энергия электрического поля заряженного шара в основном сосредоточена вблизи его поверхности. Действительно, в шаровом слое, ограниченном поверхностью шара и сферой радиуса содержится столько же энергии, сколько имеется в остальном пространстве от до бесконечности:

Два заряженных шара при одинаковом заряде имеют в окружающем их электрическом поле различную энергию; чем меньше радиус шара, тем больше эта энергия. Для точечного заряда энергия электрического поля была бы бесконечно большой.