§ 23. ФОРМУЛА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ

При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных, точках среды и изменение этих величин с течением времени. Эта задача может быть решена, если известно, по какому закону колеблется и как взаимодействует со средой тело, вызвавшее волновой процесс. Однако во многих случаях не существенно, каким телом возбуждена данная волна; решается более простая задача: дано состояние колебательного движения в одних точках среды в определенный момент времени, например известно расположение фронта волны или волновой поверхности; требуется определить состояние колебательного движения в других точках среды. Эта задача будет рассматриваться в § 25. Здесь же мы найдем связь между состояниями колебательного движения в различных точках среды в простейшем случае, когда в этой среде распространяется плоская или сферическая синусоидальная волна.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ВОЛНЫ

Допустим, что волновой процесс распространяется в положительном направлении оси т. е. в сторону возрастания координаты х (рис. 1.55). Обозначим через у колеблющуюся величину; этой величиной могут быть: смещение частиц среды относительно их положения равновесия; отклонение давления или плотности в данном месте среды от равновесного значения и т. д.

Рис. 1.55

Для простоты рассуждений предположим, что распространяющаяся волна — синусоидальная, т. е. в каждой точке среды величина у изменяется со временем по гармоническому закону. Допустим, что начало отсчета времени выбрано так, что в точке О при т. е. тогда

где со угловая частота; период; амплитуда колебаний; аргумент синуса (определяющий значение колеблющейся величины в каждый заданный момент времени) — фаза

колебаний в точке О. Требуется найти фазу колебаний в любой другой точке А, отстоящей от О на расстоянии х.

Так как точка А расположена относительно О в направлении распространения волны, то в данный момент времени в этой точке будет такое состояние колебательного движения, какое было в точке О на секунд раньше; здесь есть скорость распространения фазы колебаний в направлении Таким образом, фаза колебаний в точке А в момент равна фазе колебаний в точке О в более ранний момент т. е. равна со

Следовательно, значение колеблющейся величины в точке А в момент времени

Мы получили формулу (уравнение) синусоидальной волны, величина называется фазовой скоростью волны.

Допустим теперь, что волна распространяется в обратном направлении, т. е. от , в сторону убывания координаты х. Тогда определенное состояние колебания, т. е. определенная фаза волны, достигает точки А на секунд раньше, чем точки О, следовательно, фаза в точке А в данный момент времени больше фазы в точке О на сот Если по-прежнему принять фазу в точке О в момент равной то в точке А в этот же момент времени фаза будет равна сот Таким образом, фюрмулу Синусоидальной волны можно написать в общем виде:

где знак минус берется для волны, распространяющейся в направлении возрастания х, а плюс — в обратном направлении.

При выводе формулы (5.3) предполагалось, что амплитуда колебаний по мере распространения волны не изменяется и среда однородна (т. е. скорость распространения фазы колебаний везде одинаковая). Эти два предположения означают, что мы рассматривали плоскую волну. У сферической волны амплитуда колебаний уменьшается обратно пропорционально расстоянию и формула волны имеет вид

Расстояние пройденное волной (т. е. определенной фазой колебаний) за один период колебаний, называется длиной волны; очевидно,

В формуле волны (5.3) колеблющаяся величина зависит от двух переменных: Если найти производную от у по времени, пблагая х постоянной, то эта частная производная

показывает скорость изменения колеблющейся величины в данной точке среды. Производная же от у по х при постоянном

есть разность значений колеблющейся величины, рассчитанная на единицу расстояния между точками среды т. е. показывает, как увеличивается или уменьшается у вдоль оси (в данный момент времени t).

Найдем частные производные от колеблющейся величины у по времени при постоянном

Если у есть смещение частиц среды при колебаниях, то и а будут скоростью и ускорением этих частиц при их колебательном движении в точке с координатой х. Амплитудные значения этих величин связаны между собой:

Частные производные от у по х при постоянном будут равны:

Следовательно,

Это есть дифференциальное уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся по оси Оно получено нами из формулы волны (5.3). Однако можно сделать и обратное заключение: если какая-нибудь физическая величина зависит от времени и координат так, что ее частные производные удовлетворяют уравнению (5.6), то величина у распространяется в среде в виде плоской волны (см. уравнение (5.3)) со скоростью

и частотой колебаний

Дифференциальное уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси можно записать не только в виде (5.6), содержащем вторые производные по координате и времени, но и в виде

связи между этими производными и самой колеблющейся величиной:

Второе уравнение явно не содержит времени; если произвести замену (длина волны), то