Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 18. СОБСТВЕННЫЕ, СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙЕсли система изолирована от внешних воздействий и колебательное движение происходит без трения, то ее полная механическая энергия Потери энергии в системе вследствие трения или излучения можно компенсировать при помощи внешнего воздействия на систему, тогда колебания могут стать незатухающими. Сообщение системе энергии извне можно осуществить, например, путем прерывистых, периодически повторяющихся воздействий, при которых система сразу получает значительное количество энергии и затем постепенно расходует их на трение или излучение. Так поступают, ударяя молоточком по маятнику, камертону или струне. Колебания при таких воздействиях носят сложный характер; после получения энергии амплитуда колебаний резко возрастает и затем вследствие потерь постепенно убывает до следующего удара. Заметим, что при этих ударах внешняя сила, приложенная к колеблющемуся телу, увеличивает его энергию только в том случае, если она совершает положительную работу, т. е. действует в направлении движения этого тела. Рассмотрим другой способ компенсации потерь, когда энергия сообщается системе так же непрерывно, как она расходуется на трение или излучение. Это можно осуществить, если к колеблющемуся телу приложить непрерывно действующую силу. Очевидно, для этой цели постоянная по величине и направлению сила непригодна, так как она при двикении тела в одном направлении будет совершать положительную работу, а в противоположном направлении — равную отрицательную работу; действие такой силы выразится только в смещении положения равновесия, вокруг которого происходят колебания. Например, сила тяжести, действующая на пружинный маятник (см. рис. 1.42), не может предотвратить затухания колебания, а только опускает точку, соответствующую положению равновесия колеблющегося тела. Поэтому для компенсации потерь на трение или излучение непрерывно действующая внешняя сила должна быть переменной; только в этом случае в течение каждого периода колебаний положительная работа внешней силы может быть больше отрицательной. Рассмотрим простейшую колебательную систему с одной степенью свободы, в которой колебания происходят вдоль некоторой линии, например оси
Правая часть этого уравнения есть сумма всех сил, действующих на тело; допустим, что в этой сумме содержатся только три силы: 1) сила упругости, пропорциональная смещению тела от положения равновесия (см. формулу (4.9)),
2) сила трения, пропорциональная первой степени скорости тела,
(знак минус указывает, что направление силы трения всегда противоположно направлению скорости движения); 3) внешняя сила, - непрерывно изменяющаяся со временем по какому-нибудь закону; в частности, предположим, что внешняя сила является синусоидальной:
Если силы трения и внешняя сила отсутствуют, формула (4.19) дает дифференциальное уравнение
которое имеет решение в виде
где Колебания, происходящие при отсутствии внешних сил и трения, называются собственными; частота собственных колебаний зависит только от свойств системы. Допустим теперь, что в системе действуют две силы:
Разделим это уравнение на массу тела и обозначим:
Тогда получим дифференциальное уравнение
Этому уравнению удовлетворяет функция
где
График этой функции изображен на рис. 1.44. Начальная амплитуда колебаний Таким образом, если на тело кроме силы упругости действует сила трения, пропорциональная первой степени скорости движения, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое!) движение с частотой, зависящей от Величина
определяющая быстроту убывания амплитуды колебаний с течением времени, называется коэффициентом затухания и имеет размерность
равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:
есть безразмерная величина и называется логарифмическим декрементом затухания. Заметим, что при нелинейной зависимости силы трения от скорости колебание тела будет иметь более сложный вид. Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь; с увеличением
Рис. 1.44 Рассмотрим более общую задачу — определение движения тела, на которое действуют все три упомянутые выше силы:
Разделим это уравнение на массу тела и к обозначениям (4.23) добавим
Тогда уравнение примет вид
Внешняя сила будет совершать работу, знак которой зависит от разности фаз между силой и скоростью движения тела. Если направление внешней силы противоположно направлению движения (т. е. скорости колеблющегося тела), то она совершает отрицательную работу и поэтому тормозит движение колеблющегося тела; если же направление силы совпадает с направлением движения тела, то она совершает положительную работу и, следовательно, ускоряет движение тела. Со временем это приведет к тому, что тело будет вынуждено колебаться с той же частотой, с какой изменяется внешняя сила. К такому же выводу можно прийти, если проанализировать уравнение (4.27). Оно должно соблюдаться для каждого момента времени, поэтому если сила Однако фазы колебаний этих величин могут отличаться от фазы внешней силы; если, например, внешняя сила достигла нуля, то это вовсе не означает, что одновременно должны равняться нулю каждое из выражений Допустим, что разность фаз между внешней силой и смещением колеблющегося тела равна
(эту функцию можно получить аналитически, решая уравнение (4.28)). Тогда скорость и ускорение будут иметь фазы, отличающиеся дополнительно на
Нам необходимо найти
Таким образом, если на колеблющееся тело действует периодическая синусоидальная сила с частотой При некоторой частоте внешней силы знаменатель в выражении (4.31) для
откуда следует
Таким образом, для данной колебательной системы, имеющей собственную частоту колебаний На рис. 1.45 показан характер изменения амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от коэффициент затухания, тем резче изменяется амплитуда вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы к резонансному значению, т. е. тем более острым является максимум
т. е. соответствует тому отклонению, которое может вызвать в системе статическая сила
Множитель
показывающий, насколько максимальная амплитуда превышаег величину
Рис. 1.45 Согласно формуле для фазы (4.31), если Допустим, что система совершает свободные (затухающие) колебания и в некоторый момент на нее начинает действовать периодическая сила (см. выражение (4.21)). Обозначим работу сил трения через будут расти, следовательно, будет увеличиваться также и Как только Указанное выше возрастание амплитуды колебаний под действием внешней силы происходит особенно быстро, когда коэффициент затухания мал, а частота внешней силы равна или близка к частоте собственных тяебаний
Рис. 1.46 Колебания, происходящие в системе при условии Если на покоящуюся колебательную систему в некоторый момент времени начинает действовать внешняя периодическая сила, то вынужденные колебания наступают не сразу. В течение некоторого времени колебание тела носит сложный характер; происходит постепенное затухание («подавление») возникающих сначала собственных колебаний и также постепенное установление вынужденных колебаний с частотой внешней силы На величину амплитуды колебаний можно также воздействовать, изменяя параметры системы, т. е. величины, от которых зависит частота колебаний (длина маятника, коэффициенты возвращающих сил и моментов, коэффициенты трения и т. д.). Рассмотрим, например, простой маятник, длину которого можно изменять в процессе колебаний (рис. 1.46). Если при прохождении тела через точку Можно вызвать нарастание амплитуды колебаний также и воздействием внутренних сил, изменяющих один из параметров системы. Допустим, например, что в системе, изображенной на рис. 1.46, форма колеблющегося тела может изменяться таким образом, чтобы расстояние I от точки подвеса до центра тяжести тела увеличивалось в крайних положениях и уменьшалось при прохождении через положение равновесия (человек на качелях). При этом внутренние силы, изменяющие форму тела, будут совершать указанные выше работы Подобное нарастание колебаний при изменении параметров системы (так называемое «параметрическое возбуждение») можно осуществить и в других колебательных системах; необходимо оказывать такое периодическое воздействие на тот или иной параметр системы, чтобы система могла получить энергию извне.
|
1 |
Оглавление
|