§ 17. СИЛА И ЭНЕРГИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ. ПРОСТЕЙШИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Всякое колебательное движение есгь движение, происходящее с ускорением, поэтому на колеблющиеся тела должны действовать силы, сообщающие им эти ускорения. В частности, если точечное тело массой совершает гармоническое колебание, то, согласно второму закону механики, на него должна действовать сила, равная

где Направление силы совпадает с направлением ускорения, а вектор ускорения при гармонических колебаниях, согласно формуле (4.5), всегда направлен к положению равновесия. Таким образом, для того чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине — прямо пропорциональная смещению от этого положения. При исследовании колебательных систем можно легко найти коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой и смещением х этого тела от положения равновесия; тогда, зная еще и массу колеблющегося тела, можно вычислить частоту и период колебания; из соотношения следует:

Силы, всегда направленные к положению равновесия, называются возвращающими. Рассмотрим несколько примеров:

1. Колебательная система, состоящая из массы и пружины (см. рис. 1.36, б). Возвращающей силой является упругая сила, действующая на тело со стороны деформированной пружины. Эта сила при малых деформациях прямо пропорциональна изменению длины пружины Приложив к пружине внешние силы и измерив вызванные ими удлинения

(или сжатия) пружины, можно найти коэффициент упругости пружины и по формуле (4.10) рассчитать частоту колебаний тел, прикрепленных к концам пружины. При этом колебания будут гармоническими и со постоянны) только в том случае, если на колеблющееся, тело не действуют никакие другие силы, кроме возвращающей причем коэффициент от которого, согласно формуле (4.10), зависит частота колебаний, должен все время сохраняться постоянным. В частности, если температура пружины изменяется, то а следовательно, и частота колебаний также изменяются; колебания не будут гармоническими.

2. Система, совершающая крутильные (поворотные) колебания (см. рис. 1.38, б). При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия и затем сообщающий ему обратное движение. Возвращающий момент возникает при деформации (кручении) пружины (или стержня), к которой прикреплено колеблющееся тело. При малых углах отклонения этот момент прямо пропорционален углу отклонения.

Если крутильные колебания гармонические, т. е.

то угловая скорость и угловое ускорение при повороте также изменяются по гармоническому закону:

Возвращающий момент найдем как произведение углового ускорения на момент инерции колеблющегося тела:

где постоянная величина (если момент инерции тела при колебаниях не изменяется). Этот коэффициент можно найти, приложив к пружине (или стержню) внешние скручивающие моменты и измеряя углы скручивания а:

тогда частота и период колебаний определяются по формулам:

Согласно выражению (4.13), при гармонических крутильных колебаниях возвращающий момент должен быть точно пропорционален углу отклонения; если эта пропорциональность не соблюдается (например, при очень больших углах поворота), то колебания не будут гармоническими (хотя при отсутствии трения будут незатухающими).

3. Физический маятник (рис. 1.40). Возвращающим моментом является момент силы тяжести, имеющий знак,

противоположный знаку угла отклонения а и равный

где расстояние от точки опоры до центра тяжести тела.

При малых углах отклонения (угол а — в радианах); тогда возвращающий момент

пропорционален углу отклонения и колебания маятника будут гармоническими.

Сравнивая с выражением (4.13), получим следовательно,

При больших углах отклонения, а также при деформации тела во время колебаний (переменные колебания оказываются негармоническими, хотя они при отсутствии или компенсации трения могут быть незатухающими.

Рис. 1.40

Рис. 1.41

4. Математический маятник представляет собой точечное тело массой подвешенное к невесомой и нерастяжимой нити длиной I (рис. 1.41). Возвращающей силой является проекция силы тяжести на направление движения тела; имеем:

в радианах). Замечаем, что условие пропорциональности между возвращающей силой и смещением от положения равновесия х здесь также не соблюдается, поэтому колебания этого маятника не являются гармоническими. Но если углы а малы, так что то

так как эта сила всегда направлена к положению равновесия и поэтому имеет знак, противоположный знаку то

В этом случае колебания можно полагать гармоническими; сравнивая с выражением (4.9), получаем:

т. е. частота и период колебаний не зависят от массы колеблющегося тела, а определяются только длиной нити и ускорением силы тяжести (колебаниями маятников пользуются для определения Для постоянства коэффициента а следовательно, и частоты колебаний со необходимо постоянство Между тем сила действующая вдоль нити, может вызвать ее удлинение, которое будет минимальным в крайних положениях и максимальным при прохождении тела через точку О. Поэтому, чтобы колебания маятника были гармоническими, необходимо кроме малости углов отклонения дополнительно еще и условие нерастяжимости нити.

Рис. 1.42

Из этих примеров видно, что при малых амплитудах частота (или период) колебаний определяется только свойствами системы. Однако при больших отклонениях от положения равновесия линейная зависимость возвращающей силы от смещения а также возрастающего момента от угла поворота строго не соблюдается и частота колебаний зависит в некоторой степени также и от амплитуды колебаний или

Колебательные движения в механических системах сопровождаются периодическими превращениями кинетической энергии колеблющихся тел в потенциальную энергию взаимодействия частей системы и обратно. При этом энергией колебаний называют ту часть полной энергии системы, которая участвует в этих превращениях.

Например, энергия пружинного маятника, колеблющегося в прле тяготения Земли, состоит из потенциальной энергии деформированной пружины, потенциальной энергии положения груза и его кинетической энергии (рис. 1.42):

где а — постоянное удлинение пружины, вызванное силой тяжести; высота груза в равновесном состоянии. Сокращая, получим

Переменная часть этого выражения есть энергия колебаний в системе:

Энергию колебательного движения можно представить в зависимости от амплитудных значений смещения и скорости: при при Следовательно,

Рис. 1.43

Таким образом энергия колебаний периодически переходит из кинетической формы в потенциальную; период этих превращений вдвое меньше периода самих колебаний, так как амплитудные значения смещения или скорости появляются два раза за период, а энергия не зависит от знака этих величин. На рис. 1.43 показаны изменения со временем составных частей этой энергии: потенциальной

и кинетической